直角なベクトルを作り出す

下図のように互いに直交する2つのベクトルを考える。

math_linear_tool_1

これらのベクトルが直角であるためには、内積がゼロとなればよい。

${\bf v} \cdot {\bf u} = | {\bf v} | | {\bf u} | cos \frac{\pi}{2} = 0$

成分表示すれば

${\bf v} \cdot {\bf u} = v_x u_x + v_y u_y = 0$

これを満足する最もわかりやすいベクトル ${\bf u}$ は、 ${\bf v}$ の要素を入れ替えて、何れか片方をマイナスとしたもの。

${\bf u} = (v_y , -v_x) \ {\rm or} \ (-v_y , v_x)$

ここで要素を入れ替えた後のy成分をマイナスとしたベクトルは、元のベクトルを90度右に回転させたもので、x成分をマイナスとしたベクトルは、元のベクトルを90度左に回転させたもの。

math_linear_tool_right_angle2

これは回転行列を使って確かめることもできる。ただし以下の式で、+は左回り、-は右回りの回転であることに注意。

$\left[ \begin{array}{rr} \cos \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) & -\sin \left( \pm \frac{\pi}{2} \right)\\ \sin \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) & \cos \left( \pm \frac{\pi}{2} \right) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} v_x & v_y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{rr} 0 & \mp 1 \\ \pm 1 & 0 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} v_x & v_y \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \mp v_y & \pm v_x \end{array} \right]$

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