三角関数 – 積和・和積の公式

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三角関数の積和の公式は、通常以下の様に表される。

(1)   \begin{align*} \sin \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} \left( \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \right) \\ \cos \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2} \left( \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \right) \\ \sin \alpha \sin \beta &= - \frac{1}{2} \left( \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \right) \end{align*}

これらの式は、加法定理の式を足し引きすることで得られる。cos α sin βについても計算できるが、上の第1式と同じになる。

(2)   \begin{align*} \cos \alpha \sin \beta &= \frac{1}{2} \left( \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( \sin (\alpha + \beta) + \sin (\beta - \alpha) \right) \\ \Downarrow \\ \sin \beta \cos \alpha &= \frac{1}{2} \left( \sin (\beta + \alpha) + \sin (\beta - \alpha) \right) \end{align*}

α + β = A, α − β = Bと置いて、以下の式を得る。

(3)   \begin{align*} \sin A + \sin B = 2 \sin \dfrac{A + B}{2} \cos \dfrac{A - B}{2} \\ \sin A - \sin B = 2 \cos \dfrac{A + B}{2} \sin \dfrac{A - B}{2} \\ \cos A + \cos B = 2 \cos \dfrac{A + B}{2} \cos \dfrac{A - B}{2} \\ \cos A - \cos B = -2 \sin \dfrac{A + B}{2} \sin \dfrac{A - B}{2} \\ \end{align*}

 

 

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