囲碁 – 中手の手数

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概要

中手の手数を知っておくと、詰碁などで役に立つ。

たとえば次のケースでは白のダメが8つあいている。五目中手の手数が8手と知っていれば、黒から右の一団を五目中手の形にして攻め合いに勝てることがわかる。

 

 

目数と手数

目数とその一団を殺すまでの手数の対応は以下の通り。

一目 1
二目 2
三目 3
四目(三菱／団子) 5
五目(中手／花五) 8
六目中手  12

確認

一目～1手

これは当たり前。

 

 

二目～2手

これも当たり前。ただし1手目を打ち込まれた石を抜くとその後すぐに死となるので、付き合わない前提。

 

 

三目中手～3手

これは1手打ち込んだ後、次の手の交換で二目になるので、1手＋二目の2手で3手。

 

 

四目～5手

四目で殺せるのは団子と三菱の二通り。どちらの場合も四目は2手打った後の交換で三目になるので、2手＋三目の3手で5手。

団子

 

 

三菱

 

 

五目中手

五目中手を詰めていって四目になるまでに3手。そこから四目の手数は5手だから、五目中手を殺す手数は3手＋5手で8手。

 

 

六目中手

六目中手を詰めていって五目になるまでに4手。そこから五目の手数は8手だから、六目中手を殺す手数は4手＋8手で12手。

 

 

数学的な考え方

ある目数nから相手が連続して詰めていって、取られる前に詰められた石を抜くと目数がn-1になる。

目数nの時の手数をa_nとすると、取られる前の交換はカウントしないので、以下の漸化式が得られる。

(1)   \begin{eqnarray*} a_n - a_{n - 1} &=& n - 2 \quad (n \geq 3)\\ a_2 &=& 2 \end{eqnarray*}

(2)   \begin{eqnarray*} a_n &=& a_{n - 1} + (n - 2) \\ &=& a_{n - 2} + (n - 3) + (n - 2) \\ &\cdots& \\ &=& 2 + 1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 2) \\ &=& 2 + \frac{(n - 2)(n - 1)}{2} \quad (n \geq 2) \end{eqnarray*}

漸化式の定義時はn \geq 3の条件だったが、n \geq 2でも成り立ち、冒頭の表の6目中手まで整合していることが確認できる。

中手が問題になるのは6目以下であり、現実的には手数を2, 3, 5, 8, 12と覚えておけばよく、この計算はあくまで趣味の範囲。

 

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