ネイピア数 – TauStation

概要

ネイピア数(Napier’s constant)は自然対数の底で、一般に記号 $e$ で表される。オイラー数(Euler’s number)と呼ばれることもある。

(1) $\begin{equation*} e = 2.7182818284590452353602874 \cdots \end{equation*}$

ヤコブ・ベルヌーイによる定義。

(2) $\begin{equation*} e = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^n \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \frac{d}{dx} e^x = e_x \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \int e^x = e_x + {\rm const} \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \end{equation*}$

(6) $\begin{equation*} \int \frac{dx}{x} = \ln x + {\rm const} \end{equation*}$

(7) $\begin{eqnarray*} e^x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \\ &=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} \cdots \end{eqnarray*}$