linalg – TauStation

ベクトルと行列の定義

リテラル

ベクトルはnp.array()で引数にリストを指定して定義。

v = np.array([1, 2, 3])
print(v)

# [1 2 3]

v = np.array([1, 2, 3])

print(v)

# [1 2 3]

行列は同じくnp.array()で引数に二次元配列のリストを指定して定義。

m = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(m)

# [[1 2 3]
#  [4 5 6]]

m = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

print(m)

# [[1 2 3]

# [4 5 6]]

単位行列

numpy.identity(n)でn×nの単位行列を生成。

print(np.identity(4))

# [[1. 0. 0. 0.]
#  [0. 1. 0. 0.]
#  [0. 0. 1. 0.]
#  [0. 0. 0. 1.]]

print(np.identity(4))

# [[1. 0. 0. 0.]

# [0. 1. 0. 0.]

# [0. 0. 1. 0.]

# [0. 0. 0. 1.]]

転置

行列の転置にはtranspose()メソッドを使う。代替として.Tとしてもよい。

m = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(m.transpose())
print(m.T)

# [[1 4]
#  [2 5]
#  [3 6]]
# [[1 4]
#  [2 5]
#  [3 6]]

m = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

print(m.transpose())

print(m.T)

# [[1 4]

# [2 5]

# [3 6]]

# [[1 4]

# [2 5]

# [3 6]]

一次元配列で定義したベクトルにはtranspose()は効かない。列ベクトルに変換するにはreshape()メソッドを使う（reshape(行数, 列数)）。

v = np.array([1, 2, 3])
print(v.T)
print(v.reshape(3, 1))

# [1 2 3]
# [[1]
#  [2]
#  [3]]

v = np.array([1, 2, 3])

print(v.T)

print(v.reshape(3, 1))

# [1 2 3]

# [[1]

# [2]

# [3]]

演算

定数倍

ベクトル・行列の定数倍は、各要素の定数倍。

a = 2
v = np.array([1, 2, 3])
m = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

print(a*v)
print(a*m)

# [2 4 6]
# [[ 2  4  6]
#  [ 8 10 12]]

a = 2

v = np.array([1, 2, 3])

m = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])

print(a*v)

print(a*m)

# [2 4 6]

# [[ 2 4 6]

# [ 8 10 12]]

加減

同じ要素数のベクトル、同じ次元の行列同士の下限は要素同士の加減

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([2, 4, 6])
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[2, 4], [6, 8]])

print(a + b)
print(a - b)
print(A + B)
print(A - B)

# [3 6 9]
# [-1 -2 -3]
# [[ 3  6]
#  [ 9 12]]
# [[-1 -2]
#  [-3 -4]]

a = np.array([1, 2, 3])

b = np.array([2, 4, 6])

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])

B = np.array([[2, 4], [6, 8]])

print(a + b)

print(a - b)

print(A + B)

print(A - B)

# [3 6 9]

# [-1 -2 -3]

# [[ 3 6]

# [ 9 12]]

# [[-1 -2]

# [-3 -4]]

ベクトルの内積

同じ要素数のベクトルの内積（ドット積）はnp.dot()で計算。

$\begin{equation*} {\bf a} \cdot {\bf b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i \end{equation*}$

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
print(np.dot(a, b))

# 32

a = np.array([1, 2, 3])

b = np.array([4, 5, 6])

print(np.dot(a, b))

# 32

*演算子を使うと、要素ごとの積になる。

print(a*b)

# [ 4 10 18]

print(a*b)

# [ 4 10 18]

行列の積

行列同士の積もnp.dot()で計算。l×m行列とm×n行列の積はl×n行列になる。

$\begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1m} \\ \vdots & a_{ij} & \vdots \\ a_{l1} & \cdots & a_{lm} \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & b_{jk} & \vdots \\ b_{m1} & \cdots & b_{mn} \\ \end{array} \right) = \left( \sum_{j=1}^m a_{ij} b_{jk} \right) \end{equation*}$

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
B = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
print(np.dot(A, B))

# [[22 28]
#  [49 64]]

A = np.array([[1, 2, 3],

[4, 5, 6]])

B = np.array([[1, 2],

[3, 4],

[5, 6]])

print(np.dot(A, B))

# [[22 28]

# [49 64]]

次元数が整合しないとエラーになる。

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
B = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
print(np.dot(A, B))

# ValueError: shapes (2,3) and (2,2) not aligned: 3 (dim 1) != 2 (dim 0)

A = np.array([[1, 2, 3],

[4, 5, 6]])

B = np.array([[1, 2],

[3, 4]])

print(np.dot(A, B))

# ValueError: shapes (2,3) and (2,2) not aligned: 3 (dim 1) != 2 (dim 0)

行ベクトルと行列の積は、ベクトルを前からかけてok。

$\begin{equation*} (1, 2, 3) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right) = (30, 36, 42) \end{equation*}$

a = np.array([1, 2, 3])
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])
print(np.dot(a, A))

# [30 36 42]

a = np.array([1, 2, 3])

A = np.array([[1, 2, 3],

[4, 5, 6],

[7, 8, 9]])

print(np.dot(a, A))

# [30 36 42]

行列と列ベクトルの積は、一次元配列のベクトルをreshape()で列ベクトルに変換してから。

$\begin{equation*} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 14 \\ 32 \\ 50 \end{array} \right) \end{equation*}$

A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])
a = np.array([1, 2, 3]).reshape(3, 1)
print(np.dot(A, a))

# [[14]
#  [32]
#  [50]]

A = np.array([[1, 2, 3],

[4, 5, 6],

[7, 8, 9]])

a = np.array([1, 2, 3]).reshape(3, 1)

print(np.dot(A, a))

# [[14]

# [32]

# [50]]

なお、np.dot()の代わりに演算子@が使える。ベクトル同士なら内積、少なくともいずれか一つが行列なら行列積。

a = np.array([1, 2])
b = np.array([1, 2, 3]).reshape(3, 1)
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6]])
B = np.array([[1, 2],
              [3, 4],
              [5, 6]])
print(a @ a)
print(a @ A)
print(A @ b)
print(A @ B)

# 5
# [ 9 12 15]
# [[14]
#  [32]]
# [[22 28]
#  [49 64]]

a = np.array([1, 2])

b = np.array([1, 2, 3]).reshape(3, 1)

A = np.array([[1, 2, 3],

[4, 5, 6]])

B = np.array([[1, 2],

[3, 4],

[5, 6]])

print(a @ a)

print(a @ A)

print(A @ b)

print(A @ B)

# 5

# [ 9 12 15]

# [[14]

# [32]]

# [[22 28]

# [49 64]]

numpy.linalgパッケージ

行列式

行列式はnumpy.linalgパッケージのdet()関数で得られる。linalgは”linear algebra”の略で、慣例としてLAという名前で代替される。

import numpy.linalg as LA

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 1, 3],
              [3, 1, 2]])

print(LA.det(A))
print(LA.det(B))

# -2.0000000000000004
# 6.000000000000001

import numpy.linalg as LA

A = np.array([[1, 2],

[3, 4]])

B = np.array([[1, 2, 3],

[2, 1, 3],

[3, 1, 2]])

print(LA.det(A))

print(LA.det(B))

# -2.0000000000000004

# 6.000000000000001

逆行列

逆行列はnumpy.linalgパッケージのinv()関数で得られる。

A = np.array([[1, 2],
              [3, 4]])
B = np.array([[1, 2, 3],
              [2, 1, 3],
              [3, 1, 2]])

print(LA.inv(A))
print(LA.inv(B))

# [[-2.   1. ]
#  [ 1.5 -0.5]]
# [[-0.16666667 -0.16666667  0.5       ]
#  [ 0.83333333 -1.16666667  0.5       ]
#  [-0.16666667  0.83333333 -0.5       ]]

A = np.array([[1, 2],

[3, 4]])

B = np.array([[1, 2, 3],

[2, 1, 3],

[3, 1, 2]])

print(LA.inv(A))

print(LA.inv(B))

# [[-2. 1. ]

# [ 1.5 -0.5]]

# [[-0.16666667 -0.16666667 0.5 ]

# [ 0.83333333 -1.16666667 0.5 ]

# [-0.16666667 0.83333333 -0.5 ]]

固有値・固有ベクトル

正方行列の固有値と固有ベクトルを、eig()関数で得ることができる(行列の固有値・固有ベクトルの例題を用いた)。

A = np.array([[3, 1],
              [2, 4]])
print(LA.eig(A))

# (array([2., 5.]), array([[-0.70710678, -0.4472136 ],
#        [ 0.70710678, -0.89442719]]))

A = np.array([[3, 1],

[2, 4]])

print(LA.eig(A))

# (array([2., 5.]), array([[-0.70710678, -0.4472136 ],

# [ 0.70710678, -0.89442719]]))

結果は固有値が並んだベクトルと固有ベクトルが並んだ配列で、それぞれを取り出して利用する。なお、固有ベクトルはノルムが1となるように正規化されている。

eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(A)
print(eigenvalues)
print(eigenvectors)

# [2. 5.]
# [[-0.70710678 -0.4472136 ]
#  [ 0.70710678 -0.89442719]]

eigenvalues, eigenvectors = LA.eig(A)

print(eigenvalues)

print(eigenvectors)

# [2. 5.]

# [[-0.70710678 -0.4472136 ]

# [ 0.70710678 -0.89442719]]

注意が必要なのは固有ベクトルの方で、各固有ベクトルは配列の列ベクトルとして並んでいる。固有ベクトルを取り出す方法は2通り。

固有値に対応するサフィックスで列ベクトルを取り出す。この方法はnumpyの公式ドキュメントにも以下のように書かれている。

v(…, M, M) array: The normalized (unit “length”) eigenvectors, such that the column v[:,i] is the eigenvector corresponding to the eigenvalue w[i].

print(eigenvectors[:,0], eigenvectors[:,1])

# [-0.70710678  0.70710678] [-0.4472136  -0.89442719]

print(eigenvectors[:,0], eigenvectors[:,1])

# [-0.70710678 0.70710678] [-0.4472136 -0.89442719]

固有ベクトルの配列を転置して、行ベクトルの並びにする。

eigenvectors = eigenvectors.T
print(eigenvectors[0], eigenvectors[1])

# [-0.70710678 0.70710678] [-0.4472136 -0.89442719]

eigenvectors = eigenvectors.T

print(eigenvectors[0], eigenvectors[1])

# [-0.70710678 0.70710678] [-0.4472136 -0.89442719]

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numpy – 行列（ndarray)

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