転置行列

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定義

(1)   \begin{equation*} {\boldsymbol{A}^T}_{ij} = {\boldsymbol{A}}_{ji} \end{equation*}

性質

単独の行列

転置の転置

(2)   \begin{equation*} \left(\boldsymbol{A}^T\right)^T = \boldsymbol{A} \end{equation*}

逆行列

(3)   \begin{equation*} \left( \boldsymbol{A}^T \right)^{-1} = \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^T \end{equation*}

［証明］

(4)   \begin{align*} &\boldsymbol{AA}^{-1} = \boldsymbol{I} \; \Leftrightarrow \; \left( \boldsymbol{AA}^_{-1} \right)^T = \boldsymbol{I}^T \; \Leftrightarrow \; \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^T \boldsymbol{A}^T = \boldsymbol{I} \\ &\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{I} \; \Leftrightarrow \quad \left( \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A} \right)^T = \boldsymbol{I}^T \; \Leftrightarrow \; \boldsymbol{A}^T \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^T = \boldsymbol{I} \end{align*}

行列式

(5)   \begin{equation*} \left| \boldsymbol{A}^T \right| = \left| \boldsymbol{A} \right| \end{equation*}

行列演算

線形性

(6)   \begin{equation*} (\alpha \boldsymbol{A})^T = \alpha \boldsymbol{A}^T \end{equation*}

(7)   \begin{equation*} \left(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}\right)^T = \boldsymbol{A}^T + \boldsymbol{B}^T \end{equation*}

積

交換法則は成り立たない。

(8)   \begin{equation*} (\boldsymbol{AB})^T = \boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T \end{equation*}

［証明］

(9)   \begin{align*} \left( [ \boldsymbol{AB} ]_{ij} \right)^T = \left( \sum_k \boldsymbol{A}_{ik} \boldsymbol{B}_{kj} \right)^T = \sum_k \boldsymbol{B}_{jk} \boldsymbol{A}_{ki} =\boldsymbol{B}^T \boldsymbol{A}^T \end{align*}

行列とベクトル

行列とベクトルの積

(10)   \begin{equation*} (\boldsymbol{Ax})^T = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A}^T \end{equation*}

すなわち

(11)   \begin{equation*} \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = [x_1 \; \cdots \; x_n] \left[ \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{m1} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{1n} & \cdots & a_{mn} \\ \end{array} \right] \end{equation*}

内積

(12)   \begin{equation*} \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{x} = \langle \boldsymbol{x} , \boldsymbol{x} \rangle \end{equation*}

すなわち

(13)   \begin{equation*} [x_1 \; \cdots \; x_n] \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = x_1^2 + \cdots + x_n^2 \end{equation*}

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