2016年9月 – ページ 6

Poisson分布の標準形

ポアソン過程の到着数に現れる、離散確率分布。

(1) $\begin{equation*} P(k; \lambda) = \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} \end{equation*}$

全事象の確率が1となることの確認

(2) $\begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} = e^{\lambda} e^{-\lambda} = 1 \end{equation*}$

平均

(3) $\begin{eqnarray*} E(k) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda ^ k}{(k - 1)!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ {k + 1}}{k!} = e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ {k}}{k!} \\ &=& \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}$

この過程で以下のようになっていることに留意。

(4) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda ^ k}{k!} &=& 0\cdot \frac{\lambda ^0}{0!} + 1 \cdot \frac{\lambda ^1}{1!} + 2 \cdot \frac{\lambda ^2}{1 \cdot 2} + 3 \cdot \frac{\lambda ^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots + k\frac{\lambda ^k}{1 \cdots k} + \cdots \\ &=& \frac{\lambda ^1}{1} + \frac{\lambda ^2}{1} + \frac{\lambda ^3}{1 \cdot 2} + \cdots + \frac{\lambda ^k}{1 \cdots (k-1)} + \cdots \left( = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda ^ k}{(k - 1)!} \right) \\ &=& \frac{\lambda ^1}{0!} + \frac{\lambda ^2}{1!} + \frac{\lambda ^3}{2!} + \cdots + \frac{\lambda ^{k}}{k-1} + \cdots \left( = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ {k + 1}}{k!} \right) \\ &=& \lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^k}{k!} \end{eqnarray*}$

分散

(5) $\begin{equation*} V(k) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda ^k}{k!} e^{- \lambda} - \lambda^2 = e^{- \lambda} \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda ^k}{k!} - {\lambda}^2 \end{equation*}$

第一項の和の部分については、

(6) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda ^k}{k!} &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda ^k}{(k - 1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} (k + 1) \frac{\lambda ^(k + 1)}{k!} \\ &=& \lambda \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda ^k}{k!} + \lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^k}{k!} \\ &=& \lambda ^2 e^\lambda + \lambda e^\lambda \end{eqnarray*}$

したがって分散は以下のように得られる。

(7) $\begin{equation*} V(k) = \lambda \end{equation*}$

確率分布の形状と考察

Poisson分布の形状の特徴は以下の通り。

$\lambda < 1$ のときは単調減少
$\lambda = 1$ のとき $k = 0, 1$ に対する確率が等しく、約0.368
$\lambda > 1$ でピークが現れる。

statistics-poisson-distribution

statistics-poisson-table

$\lambda < 1$ は、その観測期間内に平均して1回も来ないようなケース。たとえば $\lambda = 0.5$ だと、平均して20分に1度来訪者が来ているとき次の10分に何人来そうか？といったイメージで、全く来ない確率が約60%、1人来る確率が約30%、2人以上来る確率が1割程度となる。ランダム事象と仮定したときの、災害に当てはめても興味深い。