ndarray – 配列の生成

2019-09-10 / tau / コメントする

リテラル

要素をリテラルで指定する。

2次元配列は行列形式できれいに表示されるが、3次元以上は1行表示になる。

print(np.array([0, 1, 2]))
# [0 1 2]

print(np.array([[0, 1, 2], [0, 2, 4], [0, 3, 6]]))
# [[0 1 2]
#  [0 2 4]
#  [0 3 6]]

print([[[0, 1], [2, 3]], [[1, 2], [3, 4]], [[2, 3], [4, 5]],
      [[3, 4], [5, 6]], [[4, 5], [6, 7]], [[5, 6], [7, 8]]])
# [[[0, 1], [2, 3]], [[1, 2], [3, 4]], [[2, 3], [4, 5]], [[3, 4], [5, 6]], [[4, 5], [6, 7]], [[5, 6], [7, 8]]]

print(np.array([0, 1, 2]))

# [0 1 2]

print(np.array([[0, 1, 2], [0, 2, 4], [0, 3, 6]]))

# [[0 1 2]

# [0 2 4]

# [0 3 6]]

print([[[0, 1], [2, 3]], [[1, 2], [3, 4]], [[2, 3], [4, 5]],

[[3, 4], [5, 6]], [[4, 5], [6, 7]], [[5, 6], [7, 8]]])

# [[[0, 1], [2, 3]], [[1, 2], [3, 4]], [[2, 3], [4, 5]], [[3, 4], [5, 6]], [[4, 5], [6, 7]], [[5, 6], [7, 8]]]

リストでもタプルでも結果は同じ。

print(np.array([0, 1, 2, 3]))
print(np.array((0, 1, 2, 3)))

# [0 1 2 3]
# [0 1 2 3]

print(np.array([0, 1, 2, 3]))

print(np.array((0, 1, 2, 3)))

# [0 1 2 3]

自動生成

配列形状を指定して全要素を特定の値で埋める

全要素が0、1の配列

numpy.zeros(shape, [dtype=None], [order='C'])
numpy.ones(shape, [dtype=None], [order='C'])

引数はどちらも同じで、配列形状、データタイプ、行列優先の指定。

多次元配列を生成する場合、配列のサイズをタプルとして引数に渡す。

print(np.zeros(3))
# [0. 0. 0.]

print(np.zeros((2, 3)))
# [[0. 0. 0.]
#  [0. 0. 0.]]

print(np.ones(3))
# [1. 1. 1.]

print(np.ones((2, 3)))
# [[1. 1. 1.]
#  [1. 1. 1.]]

print(np.zeros(3))

# [0. 0. 0.]

print(np.zeros((2, 3)))

# [[0. 0. 0.]

# [0. 0. 0.]]

print(np.ones(3))

# [1. 1. 1.]

print(np.ones((2, 3)))

# [[1. 1. 1.]

# [1. 1. 1.]]

全要素の数値を指定

numpy.full(shape, fill_value, [dtype=None], [order='C'])]

print(np.full(5, -1))
# [-1 -1 -1 -1 -1]

print(np.full((2, 3), np.exp(1)))
# [[2.71828183 2.71828183 2.71828183]
#  [2.71828183 2.71828183 2.71828183]]

print(np.full(5, -1))

# [-1 -1 -1 -1 -1]

print(np.full((2, 3), np.exp(1)))

# [[2.71828183 2.71828183 2.71828183]

# [2.71828183 2.71828183 2.71828183]]

他の配列と同じ形状で特定の値を埋める

全要素が0、1の配列

numpy.zeros_like(a, [dtype=None], [order='C'])
numpy.ones_like(a, [dtype=None], [order='C'])

a = np.array([0, 1, 2])
print(np.zeros_like(a))
print(np.ones_like(a))
# [0 0 0]
# [1 1 1]

b = np.array([[0, 1, 2], [3, 4, 5]])
print(np.zeros_like(b))
print(np.ones_like(b))
# [[0 0 0]
#  [0 0 0]]
# [[1 1 1]
#  [1 1 1]]

a = np.array([0, 1, 2])

print(np.zeros_like(a))

print(np.ones_like(a))

# [0 0 0]

# [1 1 1]

b = np.array([[0, 1, 2], [3, 4, 5]])

print(np.zeros_like(b))

print(np.ones_like(b))

# [[0 0 0]

# [0 0 0]]

# [[1 1 1]

# [1 1 1]]

全要素の値を指定

numpy.full_like(a, fill_value, [dtype=None], [order='C'])]

print(np.full_like(a, -1))
print(np.full_like(b, -2))

# [-1 -1 -1]
# [[-2 -2 -2]
#  [-2 -2 -2]]

print(np.full_like(a, -1))

print(np.full_like(b, -2))

# [-1 -1 -1]

# [[-2 -2 -2]

# [-2 -2 -2]]

初期化せず配列枠だけ確保する

zeros()、ones()と同じで、配列の形だけを確保するが各要素は初期化しない。

この場合も多次元配列ではサイズのタプルを引数で渡す。

print(np.empty(3))
# [6.90878481e-305 6.92648110e-305 6.48616890e-317]

print(np.empty((2, 3)))
# [[7.79018398e-075 2.23185784e-074 1.41890730e-075]
#  [9.39249846e-076 3.97945113e-315 0.00000000e+000]]

print(np.empty(3))

# [6.90878481e-305 6.92648110e-305 6.48616890e-317]

print(np.empty((2, 3)))

# [[7.79018398e-075 2.23185784e-074 1.41890730e-075]

# [9.39249846e-076 3.97945113e-315 0.00000000e+000]]

配列形状を(1, 1)で指定すると、1要素の2次元配列が確保される。

print(np.empty((1, 1)))
# [[2.]]

1 2	print(np.empty((1, 1))) # [[2.]]

配列形状を数値0で指定すると、空の配列が確保される。

a = np.empty(0)
print(a)
a = np.append(a, 1)
print(a)
a = np.append(a, 2)
print(a)

# []
# [1.]
# [1. 2.]

a = np.empty(0)

print(a)

a = np.append(a, 1)

print(a)

a = np.append(a, 2)

print(a)

# []

# [1.]

# [1. 2.]

配列形状で0の次元が含まれると空の配列になる。

print(np.empty((0, 3, 2)))
# []

print(np.empty((3, 0, 2)))
# []

print(np.empty((0, 3, 2)))

# []

print(np.empty((3, 0, 2)))

# []

内包表記

リストの内包表記が使える。

print(np.array([x for x in range(0, 5)]))

# [0 1 2 3 4]

print(np.array([x for x in range(0, 5)]))

# [0 1 2 3 4]

`range()`関数

普通にrange()関数も使える。

print(np.array(range(5))

# [0 1 2 3 4]

print(np.array(range(5))

# [0 1 2 3 4]

`numpy.arange()`～間隔を指定

numpy.arrange([start=0], stop, [step=1], [dtype=None])

numpy.arange()関数はrange()関数よりも高速な生成が可能。

start = time.time()

for n in range(1000):
    a = np.arange(10000)
lap = time.time() - start
print('arange: {0} sec'.format(lap))

for n in range(1000):
    a = np.array(range(10000))
end = time.time() - start
print('range : {0} sec'.format(end - lap))

# arange: 0.003025054931640625 sec
# range : 1.2017848491668701 sec

start = time.time()

for n in range(1000):

a = np.arange(10000)

lap = time.time() - start

print('arange: {0} sec'.format(lap))

for n in range(1000):

a = np.array(range(10000))

end = time.time() - start

print('range : {0} sec'.format(end - lap))

# arange: 0.003025054931640625 sec

# range : 1.2017848491668701 sec

range()関数と同じようにパラメータを設定。dtypeはデータ型を指定。

print(np.arange(10))
print(np.arange(1, 10))
print(np.arange(1, 10, step=2))
print(np.arange(1, 10, step=2, dtype=float))

# [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]
# [1 2 3 4 5 6 7 8 9]
# [1 3 5 7 9]
# [1. 3. 5. 7. 9.]

print(np.arange(10))

print(np.arange(1, 10))

print(np.arange(1, 10, step=2))

print(np.arange(1, 10, step=2, dtype=float))

# [0 1 2 3 4 5 6 7 8 9]

# [1 2 3 4 5 6 7 8 9]

# [1 3 5 7 9]

# [1. 3. 5. 7. 9.]

range()関数は整数しか引数に指定できないが、numpy.arange()関数はfloatの指定が可能。

print(np.arange(5.0))
print(np.arange(0, 5, step=0.5))

# [0. 1. 2. 3. 4.]
# [0.  0.5 1.  1.5 2.  2.5 3.  3.5 4.  4.5]

print(np.arange(5.0))

print(np.arange(0, 5, step=0.5))

# [0. 1. 2. 3. 4.]

# [0. 0.5 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 4.5]

`numpy.linspace()`～分割数を指定

numpy.linspace(start, stop, [num=50], [endpoint=True], [retstep=False], [dtype=None])

初期値と終了値を指定して、その間を等分割したリストを返す。分割数を指定しないとデフォルトで50分割。基本の型はfloat。

print(np.linspace(0, 5))

# [0.         0.10204082 0.20408163 0.30612245 0.40816327 0.51020408
#  0.6122449  0.71428571 0.81632653 0.91836735 1.02040816 1.12244898
#  1.2244898  1.32653061 1.42857143 1.53061224 1.63265306 1.73469388
#  1.83673469 1.93877551 2.04081633 2.14285714 2.24489796 2.34693878
#  2.44897959 2.55102041 2.65306122 2.75510204 2.85714286 2.95918367
#  3.06122449 3.16326531 3.26530612 3.36734694 3.46938776 3.57142857
#  3.67346939 3.7755102  3.87755102 3.97959184 4.08163265 4.18367347
#  4.28571429 4.3877551  4.48979592 4.59183673 4.69387755 4.79591837
#  4.89795918 5.        ]

print(np.linspace(0, 5))

# [0. 0.10204082 0.20408163 0.30612245 0.40816327 0.51020408

# 0.6122449 0.71428571 0.81632653 0.91836735 1.02040816 1.12244898

# 1.2244898 1.32653061 1.42857143 1.53061224 1.63265306 1.73469388

# 1.83673469 1.93877551 2.04081633 2.14285714 2.24489796 2.34693878

# 2.44897959 2.55102041 2.65306122 2.75510204 2.85714286 2.95918367

# 3.06122449 3.16326531 3.26530612 3.36734694 3.46938776 3.57142857

# 3.67346939 3.7755102 3.87755102 3.97959184 4.08163265 4.18367347

# 4.28571429 4.3877551 4.48979592 4.59183673 4.69387755 4.79591837

# 4.89795918 5. ]

この分割数は区間数ではなく、生成される数列の個数である点に注意。以下の例では0～1の間で10個の数値を生成させるため、区間数は9となる（植木算の考え方）。

print(np.linspace(0, 1, num=10))

# [0.         0.11111111 0.22222222 0.33333333 0.44444444 0.55555556
#  0.66666667 0.77777778 0.88888889 1.        ]

print(np.linspace(0, 1, num=10))

# [0. 0.11111111 0.22222222 0.33333333 0.44444444 0.55555556

# 0.66666667 0.77777778 0.88888889 1. ]

デフォルトでは終端値を含めるが、含めないようにもできる。

print(np.linspace(0, 1, num=10, endpoint=False))

# [0.  0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]

print(np.linspace(0, 1, num=10, endpoint=False))

# [0. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]

生成された数列と分割幅のタプルを返すことができる。

a = np.linspace(0, 9, num=10, retstep=True)
print(a)
print(a[0])
print(a[1])

# (array([0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.]), 1.0)
# [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.]
# 1.0

a = np.linspace(0, 9, num=10, retstep=True)

print(a)

print(a[0])

print(a[1])

# (array([0., 1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.]), 1.0)

# [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.]

# 1.0

特定の行列の生成

`numpy.identity()`～単位行列

numpy.identity(n)

正方行列の1辺の要素数を指定して、単位行列を生成する。

print(np.identity(3))

# [[1. 0. 0.]
#  [0. 1. 0.]
#  [0. 0. 1.]]

print(np.identity(3))

# [[1. 0. 0.]

# [0. 1. 0.]

# [0. 0. 1.]]

`numpy.tri()`～下三角行列の生成

numpy.tri(n)

左下の要素が1の下三角行列を生成する。

print(np.tri(4))

# [[1. 0. 0. 0.]
#  [1. 1. 0. 0.]
#  [1. 1. 1. 0.]
#  [1. 1. 1. 1.]]

print(np.tri(4))

# [[1. 0. 0. 0.]

# [1. 1. 0. 0.]

# [1. 1. 1. 0.]

# [1. 1. 1. 1.]]

`numpy.tril()`、`numpy.triu()`～行列の三角化

numpy.tril(matrix)
nunmpy.triu(matrix)

与えられた行列を下三角／上三角化。

m = np.reshape(np.arange(16), (4, 4))
print(m)
print(np.tril(m))
print(np.triu(m))

# [[ 0  1  2  3]
#  [ 4  5  6  7]
#  [ 8  9 10 11]
#  [12 13 14 15]]
# [[ 0  0  0  0]
#  [ 4  5  0  0]
#  [ 8  9 10  0]
#  [12 13 14 15]]
# [[ 0  1  2  3]
#  [ 0  5  6  7]
#  [ 0  0 10 11]
#  [ 0  0  0 15]]

m = np.reshape(np.arange(16), (4, 4))

print(m)

print(np.tril(m))

print(np.triu(m))

# [[ 0 1 2 3]

# [ 4 5 6 7]

# [ 8 9 10 11]

# [12 13 14 15]]

# [[ 0 0 0 0]

# [ 4 5 0 0]

# [ 8 9 10 0]

# [12 13 14 15]]

# [[ 0 1 2 3]

# [ 0 5 6 7]

# [ 0 0 10 11]

# [ 0 0 0 15]]

numpy – 配列操作 – 抽出

2019-09-10 / tau / コメントする

概要

配列の要素や行・列の抽出などに関する操作。

準備として、以下の1次元、2次元配列を考える。

a1 = np.array([0, 1, 2, 3])
a2 = np.array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])

print(a1)
print(a2)[0 1 2 3]

# [0 1 2 3]
# [[0 1 2]
#  [3 4 5]
#  [6 7 8]]

a1 = np.array([0, 1, 2, 3])

a2 = np.array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])

print(a1)

print(a2)[0 1 2 3]

# [0 1 2 3]

# [[0 1 2]

# [3 4 5]

# [6 7 8]]

要素の参照

1次元配列の要素の参照は、リストと同じ。

print(a1[0])
print(a1[-1])
print(a1[-2])

# 0
# 3
# 2

print(a1[0])

print(a1[-1])

print(a1[-2])

# 0

# 3

# 2

2次元配列の要素は、[行, 列]で指定。行・列の値の考え方は1次元配列の要素と同じ。

print(a2[1, 2])
print(a2[-1, -2])

# 5
# 7

print(a2[1, 2])

print(a2[-1, -2])

# 5

# 7

行・列の参照

単一の行・列の参照

2次元配列の行の参照は、行番号を指定。

print(a2[0])

# [0 1 2]

print(a2[0])

# [0 1 2]

2次元配列の列の参照はややこしくて、[:,列番号]で指定。1つ目の:は行番号のプレースホルダーみたいなものか。

ただし、列を取り出した結果でも、1次元の配列になる。

print(a2[:,0])

# [0 3 6]

print(a2[:,0])

# [0 3 6]

直接列ベクトルで取り出したい場合は、[:,列番号:列番号+1]で可能。

print(a2[:,2:3])

# [[2]
#  [5]
#  [8]]

print(a2[:,2:3])

# [[2]

# [5]

# [8]]

なお、1次元の配列にndarray.Tを作用させても、1次元配列のままで列ベクトルにはならない。

範囲を指定した行・列の参照

行の範囲を指定して、複数行の行列を返す。

print(a2[1:3])

# [0 3 6]

print(a2[1:3])

# [0 3 6]

列の範囲を指定する場合。

print(a2[:,1:3])

# [[1 2]
#  [4 5]
#  [7 8]]

print(a2[:,1:3])

# [[1 2]

# [4 5]

# [7 8]]

複数の行・列を指定した参照

連続しない複数の行を取り出した行列をつくるには、[行番号, 行番号, …]とする。

print(a2[[0,2,0,2]])

# [[0 1 2]
#  [6 7 8]
#  [0 1 2]
#  [6 7 8]]

print(a2[[0,2,0,2]])

# [[0 1 2]

# [6 7 8]

# [0 1 2]

# [6 7 8]]

複数列を取り出す場合。

print(a2[:,[0,2,0,2]])

# [[0 2 0 2]
#  [3 5 3 5]
#  [6 8 6 8]]

print(a2[:,[0,2,0,2]])

# [[0 2 0 2]

# [3 5 3 5]

# [6 8 6 8]]

参照であることの注意

以上の操作で取り出された配列は、元の配列への参照を保っているため、その要素を変更すると元の配列の要素も変更される。

r = a2[0]
c = a2[:,2]
print(r)
print(c)
r[0] = -1
c[2] = -2
print(r)
print(c)
print(a2)

# 取り出された行・列
# [0 1 2]
# [2 5 8]
# 変更された行・列
# [-1  1  2]
# [ 2  5 -2]
# 元の配列にも影響
# [[-1  1  2]
#  [ 3  4  5]
#  [ 6  7 -2]]

r = a2[0]

c = a2[:,2]

print(r)

print(c)

r[0] = -1

c[2] = -2

print(r)

print(c)

print(a2)

# 取り出された行・列

# [0 1 2]

# [2 5 8]

# 変更された行・列

# [-1 1 2]

# [ 2 5 -2]

# 元の配列にも影響

# [[-1 1 2]

# [ 3 4 5]

# [ 6 7 -2]]

元の配列に影響させたくない場合は、copy.copy()、copy.deepcopy()、np.copy()でオブジェクトをコピーする必要がある。

対角要素の取り出し

np.diag()で、2次元配列の対角要素を取り出した1次元配列が得られる。

ただし、その結果は書き込みできない。

d = np.diag(a2)
print(d)  # [0 4 8]
d[0] = -1 # ValueError: assignment destination is read-only

d = np.diag(a2)

print(d) # [0 4 8]

d[0] = -1 # ValueError: assignment destination is read-only

条件を指定した取り出し

配列に条件式を適用して、各要素が要件に合致していればTrue、合致していなければFalseを要素とする配列を返す。

print(a2%2 == 0)

# [[ True False  True]
#  [False  True False]
#  [ True False  True]]

print(a2%2 == 0)

# [[ True False True]

# [False True False]

# [ True False True]]

上で得られた配列を要素とすることで、条件に合致した要素のみを取り出した1次元配列を得る。

print(a2[a2%2 == 0])

# [0 2 4 6 8]

print(a2[a2%2 == 0])

# [0 2 4 6 8]

Python3 – numpyのインストール

2019-09-10 / tau / コメントする

numpyのインストールは、コマンドラインからpipで。numpyのインストール後にpipのアップグレードを推奨されたので、これも実行。

C:\Users\tomo>pip install numpy
Collecting numpy
  Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/c3/13/a991b874825a195aefb9cf53a1a632099622237d8701dbd4a18804fa5144/numpy-1.17.1-cp37-cp37m-win32.whl (10.8MB)
    100% |████████████████████████████████| 10.8MB 1.8MB/s
Installing collected packages: numpy
Successfully installed numpy-1.17.1
You are using pip version 19.0.3, however version 19.2.3 is available.
You should consider upgrading via the 'python -m pip install --upgrade pip' command.

C:\Users\tomo>python -m pip install --upgrade pip
Collecting pip
  Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/30/db/9e38760b32e3e7f40cce46dd5fb107b8c73840df38f0046d8e6514e675a1/pip-19.2.3-py2.py3-none-any.whl (1.4MB)
    100% |████████████████████████████████| 1.4MB 1.3MB/s
Installing collected packages: pip
  Found existing installation: pip 19.0.3
    Uninstalling pip-19.0.3:
      Successfully uninstalled pip-19.0.3
Successfully installed pip-19.2.3

C:\Users\tomo>pip install numpy

Collecting numpy

Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/c3/13/a991b874825a195aefb9cf53a1a632099622237d8701dbd4a18804fa5144/numpy-1.17.1-cp37-cp37m-win32.whl (10.8MB)

100% |████████████████████████████████| 10.8MB 1.8MB/s

Installing collected packages: numpy

Successfully installed numpy-1.17.1

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You should consider upgrading via the 'python -m pip install --upgrade pip' command.

C:\Users\tomo>python -m pip install --upgrade pip

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100% |████████████████████████████████| 1.4MB 1.3MB/s

Installing collected packages: pip

Found existing installation: pip 19.0.3

Uninstalling pip-19.0.3:

Successfully uninstalled pip-19.0.3

Successfully installed pip-19.2.3

回帰分析～単回帰

2019-09-09 / tau / コメントする

概要

$(X,\: Y) = (x_i,\: y_i) \; (i=1 \ldots n)$ のデータからなる複数の標本に対して、線形式で最も説明性の高いものを求める。

そのために、各データの $x_i$ に線形式を適用して得られた値 $\hat{y_i} = a x_i + b$ と $y_i$ の差（残差）の平方和が最小となるような係数 $a,\: b$ を求める（最小二乗法）。

定式化

(1) $\begin{equation*} \sum_{i=1}^n (\hat{y_i} - y_i)^2 \; \rightarrow \; \min \quad {\rm where} \; \hat{y_i} = a x_i + b \end{equation*}$

ここで残差を最小化する $a,\: b$ を求めるために、それぞれで偏微分する。

(2) $\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial}{\partial a} \sum_{i=1}^n (a x_i + b - y_i)^2 = 0 \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial b} \sum_{i=1}^n (a x_i + b - y_i)^2 = 0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{i=1}^n 2(a x_i + b - y_i)x_i = 0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^n 2(a x_i + b - y_i) = 0 \end{array} \right. \end{equation*}$

展開して

(3) $\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a \sum_{i=1}^n x_i^2 + b \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n x_i y_i = 0 \\ \displaystyle a \sum_{i=1}^n x_i + bn - \sum_{i=1}^n y_i = 0 \end{array} \right. \end{equation*}$

各和の記号を新たに定義し、行列表示で表すと、

(4) $\begin{equation*} \left[ \begin{array}{cc} S_{xx} & S_x \\ S_x & n \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} S_{xy} \\ S_y \end{array} \right] \end{equation*}$

回帰式の係数

式(4)を解くと以下を得る。

(5) $\begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{n S_{xy} - S_x S_y}{n S_{xx} - {S_x}^2} \\ \dfrac{S_{xx} S_y - S_x S_{xy}}{n S_{xx} - {S_x}^2} \end{array} \right] \end{equation*}$

あるいは式(5)については以下のようにも表せる。ただし以下の式で、 $\sigma_{XY} = {\rm Cov}(X, Y)$ 、 ${\sigma_X}^2 = {\rm Var}(X)$

(6) $\begin{equation*} a = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})(y_i - \overline{Y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})^2} =\frac{\sigma_{XY}}{{\sigma _X}^2} \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} b = \overline{Y} - a \overline{X} \end{equation*}$

決定係数

全変動・回帰変動・残差変動

$x_i$ の回帰式による推定値を $\hat{y}_i = a x_i + b$ で表す。

ここで、 $y_i,\: \hat{y},\: \overline{Y}$ によって、以下の変動が定義される。

$y_i - \overline{Y}$: 全変動。平均からのデータのばらつき。
$\hat{y}_i - \overline{Y}$: 回帰変動。平均からのばらつきのうち、回帰式によって説明される部分。
$y_i - \hat{y}_i$: 残差変動。平均からのばらつきのうち、回帰式によって説明されない部分。

当然、[全変動]＝[回帰変動]＋[残差変動]となることはすぐに確認できる。

また、これら3つの変動の2乗和をTSS(Total Sum of Squares)、ESS(Explained Sum of Squares、RSS(Residual Sum of Squares)として、以下のように定義する。

(8) $\begin{eqnarray*} TSS &=& \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{Y})^2 \\ ESS &=& \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \overline{Y})^2 \\ RSS &=& \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 \end{eqnarray*}$

このとき、それぞれについて以下のように表せる。

(9) $\begin{eqnarray*} TSS &=& n {\sigma _Y}^2 \\ ESS &=& n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_x}^2} \\ RSS &=& n {\sigma_Y}^2 - n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \end{eqnarray*}$

これらから、全変動・回帰変動・残差変動の2乗和についても、以下の関係が成り立つことがわかる。

(10) $\begin{equation*} TSS = ESS + RSS \end{equation*}$

補足～ESS

式(9) のESSの確認。以下のように、線形変換された分散から導ける。

(11) $\begin{eqnarray*} ESS &=& \sum_{i=1}^n \left( a x_i +b - (a \overline{X} + b) \right)^2 \\ &=& n {\rm Var}(a X + b) \\ &=& na^2{\rm Var}(X) \\ &=& n a^2 {\sigma_x}^2 \\ &=& n \left( \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_x}^2} \right)^2 {\sigma_x}^2 \\ &=& n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_x}^2} \end{eqnarray*}$

あるいは、以下のように地道に計算しても確認できる。

(12) $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \overline{Y}) &=& \sum_{i=1}^n ({\hat{y}_i}^2 - 2 \hat{y}_i \overlne{Y} + \overline{Y}^2) \\ &=& \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i^2 - 2(a x_i + b) \overline{Y} +\overline{Y}^2) \\ &=& \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i^2 - 2a x_i \overline{Y} - 2b\overline{Y} + \overline{Y}^2) \\ &=& \sum_{i=1}^n \hat{y}_i^2 - 2an \overline{X} \; \overline{Y} -2nb \overline{Y} + n \overline{Y}\end{eqnarray*} \\$

ここで

(13) $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \hat{y}_i^2 &=& \sum_{i=1}^n (ax_i + b)^2 \\ &=&\sum_{i=1}^n (a^2 x_i^2 + 2ab x_i + b^2) \\ &=& a^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2abn \overline{X} + nb^2 \end{eqnarray*}$

これを代入して、

(14) $\begin{eqnarray*} ESS &=& a^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2nab \overline{X} + nb^2 - 2na \overline{X} \; \overline{Y} - 2nb \overline{Y} + n \onerline{Y} \end{eqnarray*}$

さらに $\sum_{i=1}^n x_i^2 = \n \sigma_X^2 + n \overline{X}^2$ を考慮して、

(15) $\begin{eqnarray*} ESS &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + n a^2 \overline{X}^2 + 2nab \overline{X} + nb^2 -2na\overline{X}\;\overline{Y} - 2nb\overline{Y} + n\overline{Y}^2 \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + n(a \overline{X} - \overline{Y})^2 + 2nab\overline{X} + nb^2 - 2nb\overline{Y} \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + nb^2 + 2nab\overline{X} + nb^2 - 2nb\overline{Y} \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + 2nb(b + a\overline{X} - \overline{Y}) \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 \\ &=& n \left( \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_X}^2} \right)^2 {\sigma_X}^2 \\ &=& n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \end{eqnarray*}$

補足～RSS

式(9) のRSSの確認。

(16) $\begin{eqnarray*} RSS &=& \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - a x_i - b)^2 \\ &=& \sum_{i=1}^n (y_i - a x_i - \overline{Y} + a \overline{X})^2 \\ &=& \sum_{i=1}^n \left(y _i - \overline{Y} - a (x_i - \overline{X}) \right) ^2 \\ &=& \sum_{i=1}^n \left(y _i - \overline{Y} - \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_X}^2} (x_i - \overline{X}) \right) ^2 \\ &=& n {\sigma_Y}^2 - 2n \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_X}^2} \sigma_{XY} + n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^4} {\sigma_X}^2 \\ &=& n {\sigma_Y}^2 - 2n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} + n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \\ &=& n {\sigma_Y}^2 - n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \end{eqnarray*}$

決定係数

決定係数は、全変動のうち回帰変動でどれだけ説明できるか（残差変動が少ないか）を表したもので、通常 $R^2$ で表される。

(17) $\begin{align*} R^2 = \frac{ESS}{TSS} = \frac{TSS - RSS}{TSS} = 1 - \frac{RSS}{TSS} \end{align*}$

この値は、残差変動が小さいほど1に近づき、 $RSS = TSS$ すなわち全変動が回帰変動で全く説明できないときに0となる。

クイックソート

2019-09-08 / tau / コメントする

概要

クイックソートは、特定の値（ピボット）を基準にして、データの先頭と最後尾から1つずつ中央に近づけていきながら、ピボットより小さなデータが前に、大きなデータが後ろに配置されるように交換し、その処理を再帰的に行っていく。

考え方

以下2段階に分けて、与えられたデータ列をピボット以上・未満に振り分ける操作と、それらを再帰的に実行していく操作を示す。

ピボットの取り方にはいろいろあるようだが、ここでは与えられたデータの先頭と最後尾の値の平均値とする。

部分列に対する操作

以下の図で、4,6,2,…5のデータの部分列が与えられたとする。その際の操作は以下の通り。

⓪　部分列の先頭と最後尾のデータの平均を計算し、それをピボットとして設定(4.5)
①　左からピボット以上のデータを探索(6≥4.5)、右からピボット未満のデータを探索(1<4.5)
②　探索した左右のデータを交換
③　さらに左からピボット以上のデータを探索(7≥4.5)、右からピボット未満のデータを探索(0<4.5)
④　探索した左右のデータを交換
⑤　さらに探索を進めた結果、左右のポインターが交差
- このとき、境界より左にピボット未満、境界より右にピボット以上のデータが格納されている
- 3を境界とし、境界を含む左側とそれより右側の部分列に分けて、再帰的に探索を行う

再帰処理

部分列の操作を踏まえたうえで、それらの再帰的な処理の様子を下図に示す。図中、それぞれの線種や背景色の意味は以下の通り

二重枠囲みはピボットの値
赤はピボット以上のデータ
青はピボット未満のデータ
黄色は境界値
緑色は位置が確定したデータ

各段階の処理は以下の通り。

①　元の列からピボット以上／未満のデータを振り分け
②　左側の部分列に対する再帰1段目、ピボットによる振り分け
③　左側の部分列に対する再帰2段目、ピボットによる振り分け
④　左側の部分列に対する再帰3段目、ピボットによる振り分け
⑤⑥　左側・右側の再帰終了、0と1の位置確定
⑦　右側の部分列に対する再帰3段目
⑧⑨　左側・右側の再帰終了、2と3の位置確定
⑩　右側の再帰終了、4の位置確定（ここで再帰1段目の左側終了）
⑪　右側の部分列に対する再帰1段目、ピボットによる振り分け
⑫　左側の再帰終了、5の位置確定
⑬　右側の再帰2段目、ピボットによる振り分け
⑭⑮　左側・右側の再帰終了、6と7の位置確定

コード

以下はPythonによる実装。全体のデータ列に対して位置を指定して並べ替えを実行する再帰関数quick_sort_core()を定義し、全体列に対してこれを呼び出す入口の関数quick_sort()を定義。

def quick_sort(data):
    quick_sort_core(data, 0, len(data)-1)

def quick_sort_core(data, org_left, org_right):
    if org_left == org_right: return

    left = org_left
    right = org_right
    pivot = (data[org_left] + data[org_right]) / 2

    while True:
        while data[left] < pivot:
            left += 1
            if left > org_right: return
        while data[right] >= pivot:
            right -= 1
            if right < org_left: return
        if left >= right:
            border = right
            break
        data[left], data[right] = data[right], data[left]

    quick_sort_core(data, org_left, border)
    quick_sort_core(data, border+1, org_right)

def quick_sort(data):

quick_sort_core(data, 0, len(data)-1)

def quick_sort_core(data, org_left, org_right):

if org_left == org_right: return

left = org_left

right = org_right

pivot = (data[org_left] + data[org_right]) / 2

while True:

while data[left] < pivot:

left += 1

if left > org_right: return

while data[right] >= pivot:

right -= 1

if right < org_left: return

if left >= right:

border = right

break

data[left], data[right] = data[right], data[left]

quick_sort_core(data, org_left, border)

quick_sort_core(data, border+1, org_right)

例示したデータに対して実行。

data = [4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5]
quick_sort(data)
print(data)

# [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

data = [4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5]

quick_sort(data)

print(data)

# [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

要素がすべて同じで、要素数が偶数・奇数の場合も正常に動作。

data = [1, 1, 1, 1]
quick_sort(data)
print(data)

data = [1, 1, 1, 1, 1]
quick_sort(data)
print(data)

# [1, 1, 1, 1]
# [1, 1, 1, 1, 1]

data = [1, 1, 1, 1]

quick_sort(data)

print(data)

data = [1, 1, 1, 1, 1]

quick_sort(data)

print(data)

# [1, 1, 1, 1]

# [1, 1, 1, 1, 1]

同じ要素が複数含まれる場合も正常に動作。

data = [2, 1, 2, 1, 1]
print(data)
quick_sort(data)
print(data)

# [1, 1, 1, 2, 2]

data = [2, 1, 2, 1, 1]

print(data)

quick_sort(data)

print(data)

# [1, 1, 1, 2, 2]

動作状況の確認

並べ替えの動作中の状況を以下のコードで確認。各所にprint()関数をちりばめてみる。

import random

def quick_sort(data):
    quick_sort_core(data, 0, len(data)-1)

def quick_sort_core(data, org_left, org_right):
    print('function start')
    print(data[org_left:org_right+1], end=' ')
    if org_left == org_right:
        print('return')
        return

    left = org_left
    right = org_right
    pivot = (data[org_left] + data[org_right]) / 2
    print('pivot', pivot, '<-', data[org_left], data[org_right])

    while True:
        print(data[org_left:org_right+1], pivot, 'check', data[left], data[right])
        while data[left] < pivot:
            left += 1
            print(data[org_left:org_right+1], 'left+1 ->', data[left])
            if left > org_right:
                print(data[left], '>', data[org_right], 'return')
                return
        while data[right] >= pivot:
            right -= 1
            print(data[org_left:org_right+1], 'right-1 ->', data[right])
            if right < org_left:
                print(data[org_left], '>', data[right], 'return')
                return
        if left >= right:
            border = right
            print(data[left], '>=', data[right], 'border=', data[border])
            break
        data[left], data[right] = data[right], data[left]
        print(data[org_left:org_right+1], 'switched', data[left], data[right])

    quick_sort_core(data, org_left, border)
    quick_sort_core(data, border+1, org_right)

data = [4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5]
quick_sort(data)
print(data)

import random

def quick_sort(data):

quick_sort_core(data, 0, len(data)-1)

def quick_sort_core(data, org_left, org_right):

print('function start')

print(data[org_left:org_right+1], end=' ')

if org_left == org_right:

print('return')

return

left = org_left

right = org_right

pivot = (data[org_left] + data[org_right]) / 2

print('pivot', pivot, '<-', data[org_left], data[org_right])

while True:

print(data[org_left:org_right+1], pivot, 'check', data[left], data[right])

while data[left] < pivot:

left += 1

print(data[org_left:org_right+1], 'left+1 ->', data[left])

if left > org_right:

print(data[left], '>', data[org_right], 'return')

return

while data[right] >= pivot:

right -= 1

print(data[org_left:org_right+1], 'right-1 ->', data[right])

if right < org_left:

print(data[org_left], '>', data[right], 'return')

return

if left >= right:

border = right

print(data[left], '>=', data[right], 'border=', data[border])

break

data[left], data[right] = data[right], data[left]

print(data[org_left:org_right+1], 'switched', data[left], data[right])

quick_sort_core(data, org_left, border)

quick_sort_core(data, border+1, org_right)

data = [4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5]

quick_sort(data)

print(data)

動作結果は以下の通りで、再帰的に実行されているのがわかる。

function start
[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] pivot 4.5 <- 4 5
[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] 4.5 check 4 5
[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] left+1 -> 6
[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] right-1 -> 1
[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] switched 1 6
[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] 4.5 check 1 6
[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] left+1 -> 2
[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] left+1 -> 7
[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] right-1 -> 0
[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] switched 0 7
[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] 4.5 check 0 7
[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] left+1 -> 3
[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] left+1 -> 7
[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] right-1 -> 3
7 >= 3 border= 3
function start
[4, 1, 2, 0, 3] pivot 3.5 <- 4 3
[4, 1, 2, 0, 3] 3.5 check 4 3
[3, 1, 2, 0, 4] switched 3 4
[3, 1, 2, 0, 4] 3.5 check 3 4
[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 1
[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 2
[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 0
[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 4
[3, 1, 2, 0, 4] right-1 -> 0
4 >= 0 border= 0
function start
[3, 1, 2, 0] pivot 1.5 <- 3 0
[3, 1, 2, 0] 1.5 check 3 0
[0, 1, 2, 3] switched 0 3
[0, 1, 2, 3] 1.5 check 0 3
[0, 1, 2, 3] left+1 -> 1
[0, 1, 2, 3] left+1 -> 2
[0, 1, 2, 3] right-1 -> 2
[0, 1, 2, 3] right-1 -> 1
2 >= 1 border= 1
function start
[0, 1] pivot 0.5 <- 0 1
[0, 1] 0.5 check 0 1
[0, 1] left+1 -> 1
[0, 1] right-1 -> 0
1 >= 0 border= 0
function start
[0] return
function start
[1] return
function start
[2, 3] pivot 2.5 <- 2 3
[2, 3] 2.5 check 2 3
[2, 3] left+1 -> 3
[2, 3] right-1 -> 2
3 >= 2 border= 2
function start
[2] return
function start
[3] return
function start
[4] return
function start
[7, 6, 5] pivot 6.0 <- 7 5
[7, 6, 5] 6.0 check 7 5
[5, 6, 7] switched 5 7
[5, 6, 7] 6.0 check 5 7
[5, 6, 7] left+1 -> 6
[5, 6, 7] right-1 -> 6
[5, 6, 7] right-1 -> 5
6 >= 5 border= 5
function start
[5] return
function start
[6, 7] pivot 6.5 <- 6 7
[6, 7] 6.5 check 6 7
[6, 7] left+1 -> 7
[6, 7] right-1 -> 6
7 >= 6 border= 6
function start
[6] return
function start
[7] return
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

function start

[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] pivot 4.5 <- 4 5

[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] 4.5 check 4 5

[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] left+1 -> 6

[4, 6, 2, 7, 3, 0, 1, 5] right-1 -> 1

[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] switched 1 6

[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] 4.5 check 1 6

[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] left+1 -> 2

[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] left+1 -> 7

[4, 1, 2, 7, 3, 0, 6, 5] right-1 -> 0

[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] switched 0 7

[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] 4.5 check 0 7

[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] left+1 -> 3

[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] left+1 -> 7

[4, 1, 2, 0, 3, 7, 6, 5] right-1 -> 3

7 >= 3 border= 3

function start

[4, 1, 2, 0, 3] pivot 3.5 <- 4 3

[4, 1, 2, 0, 3] 3.5 check 4 3

[3, 1, 2, 0, 4] switched 3 4

[3, 1, 2, 0, 4] 3.5 check 3 4

[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 1

[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 2

[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 0

[3, 1, 2, 0, 4] left+1 -> 4

[3, 1, 2, 0, 4] right-1 -> 0

4 >= 0 border= 0

function start

[3, 1, 2, 0] pivot 1.5 <- 3 0

[3, 1, 2, 0] 1.5 check 3 0

[0, 1, 2, 3] switched 0 3

[0, 1, 2, 3] 1.5 check 0 3

[0, 1, 2, 3] left+1 -> 1

[0, 1, 2, 3] left+1 -> 2

[0, 1, 2, 3] right-1 -> 2

[0, 1, 2, 3] right-1 -> 1

2 >= 1 border= 1

function start

[0, 1] pivot 0.5 <- 0 1

[0, 1] 0.5 check 0 1

[0, 1] left+1 -> 1

[0, 1] right-1 -> 0

1 >= 0 border= 0

function start

[0] return

function start

[1] return

function start

[2, 3] pivot 2.5 <- 2 3

[2, 3] 2.5 check 2 3

[2, 3] left+1 -> 3

[2, 3] right-1 -> 2

3 >= 2 border= 2

function start

[2] return

function start

[3] return

function start

[4] return

function start

[7, 6, 5] pivot 6.0 <- 7 5

[7, 6, 5] 6.0 check 7 5

[5, 6, 7] switched 5 7

[5, 6, 7] 6.0 check 5 7

[5, 6, 7] left+1 -> 6

[5, 6, 7] right-1 -> 6

[5, 6, 7] right-1 -> 5

6 >= 5 border= 5

function start

[5] return

function start

[6, 7] pivot 6.5 <- 6 7

[6, 7] 6.5 check 6 7

[6, 7] left+1 -> 7

[6, 7] right-1 -> 6

7 >= 6 border= 6

function start

[6] return

function start

[7] return

[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]

バブルソート

2019-09-02 / tau / コメントする

概要

バブルソートは、すべてのデータを一つずつチェックしながら、（昇順の場合）最も大きいデータを後ろに押し出していく。

たとえば以下のような初期データ列があるとする。

3, 4, 1, 2, 0

最初のループでは、全データの中で最大のものが一番最後に来るようにする。

3, 4, 1, 2, 0
3, 4, 1, 2, 0　→　3, 1, 4, 2, 0
3, 1, 4, 2, 0　→　3, 1, 2, 4, 0
3, 1, 2, 4, 0　→　3, 1, 2, 0, 4

3, 1, 2, 0, 4　→　1, 3, 2, 0, 4
1, 3, 2, 0, 4　→　1, 2, 3, 0, 4
1, 2, 3, 0, 4　→　1, 2, 0, 3, 4

1, 2, 0, 3, 4
1, 2, 0, 3, 4　→　1, 0, 2, 3, 4

1, 0, 2, 3, 4　→　0, 1, 2, 3, 4

ループ回数は $(n-1)+(n-2)+\cdots+1=\frac{n(n-1)}{2}$

コード

Pythonによるバブルソートのコード例。

def bubble_sort(data):
    for m in reversed(range(0, len(data))):
        for n in range(0, m):
            print(data, end=' -> ')
            if data[n] > data[n+1]:
                data[n], data[n+1] = data[n+1], data[n]
            print(data)
        print()


data = [3, 4, 1, 2, 0]
bubble_sort(data)

# [0, 1, 2, 3, 4]

def bubble_sort(data):

for m in reversed(range(0, len(data))):

for n in range(0, m):

print(data, end=' -> ')

if data[n] > data[n+1]:

data[n], data[n+1] = data[n+1], data[n]

print(data)

print()

data = [3, 4, 1, 2, 0]

bubble_sort(data)

# [0, 1, 2, 3, 4]

安定ソート

バブルソートは安定ソートである。すなわち、同じソートキーのデータについて、ソート後も元の順序が保持される。

def bubble_sort_2d(data):
    for m in reversed(range(0, len(data))):
        for n in range(0, m):
            print(data, end=' -> ')
            if data[n][1] > data[n+1][1]:
                data[n], data[n+1] = data[n+1], data[n]
            print(data)
        print()


data = [
    [1, 50],
    [2, 40],
    [3, 30],
    [4, 30],
    [5, 40]]
bubble_sort_2d(data)

# [[3, 30], [4, 30], [2, 40], [5, 40], [1, 50]]

def bubble_sort_2d(data):

for m in reversed(range(0, len(data))):

for n in range(0, m):

print(data, end=' -> ')

if data[n][1] > data[n+1][1]:

data[n], data[n+1] = data[n+1], data[n]

print(data)

print()

data = [

[1, 50],

[2, 40],

[3, 30],

[4, 30],

[5, 40]]

bubble_sort_2d(data)

# [[3, 30], [4, 30], [2, 40], [5, 40], [1, 50]]

リテラル

自動生成

配列形状を指定して全要素を特定の値で埋める

全要素が0、1の配列

全要素の数値を指定

他の配列と同じ形状で特定の値を埋める

全要素が0、1の配列

全要素の値を指定

初期化せず配列枠だけ確保する

内包表記

range()関数

numpy.arange()～間隔を指定

numpy.linspace()～分割数を指定

特定の行列の生成

numpy.identity()～単位行列

numpy.tri()～下三角行列の生成

numpy.tril()、numpy.triu()～行列の三角化

概要

要素の参照

行・列の参照

単一の行・列の参照

範囲を指定した行・列の参照

複数の行・列を指定した参照

参照であることの注意

対角要素の取り出し

条件を指定した取り出し

概要

定式化

回帰式の係数

決定係数

全変動・回帰変動・残差変動

補足～ESS

補足～RSS

決定係数

概要

考え方

部分列に対する操作

再帰処理

コード

動作状況の確認

概要

コード

安定ソート

`range()`関数

`numpy.arange()`～間隔を指定

`numpy.linspace()`～分割数を指定

`numpy.identity()`～単位行列

`numpy.tri()`～下三角行列の生成

`numpy.tril()`、`numpy.triu()`～行列の三角化