回帰分析~単回帰

概要

(X,\: Y) = x_i,\: y_iのデータからなる複数の標本に対して、線形式で最も説明性の高いものを求める。

そのために、各標本のx_iに線形式を適用して得られた値\hat{y_i} = a x_i + by_iの差の平方和が最小となるような係数a,\: bを求める(最小二乗法)。

定式化

(1)    \begin{equation*} \sum_{i=1}^n (\hat{y_i} - y_i)^2 \; \rightarrow \; \min \quad {\rm where} \; \hat{y_i} = a x_i + b \end{equation*}

ここで上式を最小化するa,\: bを求めるために、それぞれで偏微分する。

(2)    \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \frac{\partial}{\partial a} \sum_{i=1}^n (a x_i + b - y_i)^2 = 0 \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial b} \sum_{i=1}^n (a x_i + b - y_i)^2 = 0 \end{array} \right. \quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{i=1}^n 2(a x_i + b - y_i)x_i = 0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^n 2(a x_i + b - y_i) = 0 \end{array} \right. \end{equation*}

展開して

(3)    \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle a \sum_{i=1}^n x_i^2 + b \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n x_i y_i = 0 \\ \displaystyle a \sum_{i=1}^n x_i + bn - \sum_{i=1}^n y_i = 0 \end{array} \right. \end{equation*}

各和の記号を新たに定義し、行列表示で表すと、

(4)    \begin{equation*} \left[ \begin{array}{cc} S_{xx} & S_x \\ S_x & n \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} S_{xy} \\ S_y \end{array} \right] \end{equation*}

回帰式の係数

式(4)を解くと以下を得る。

(5)    \begin{equation*} \left[ \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{n S_{xy} - S_x S_y}{n S_{xx} - {S_x}^2} \\ \dfrac{S_{xx} S_y - S_x S_{xy}}{n S_{xx} - {S_x}^2} \end{array} \right] \end{equation*}

あるいは式(5)については以下のようにも表せる。ただし以下の式で、\sigma_{XY} = {\rm Cov}(X, Y){\sigma_X}^2 = {\rm Var}(X)

(6)    \begin{equation*} a = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})(y_i - \overline{Y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{X})^2} =\frac{\sigma_{XY}}{{\sigma _X}^2} \end{equation*}

(7)    \begin{equation*} b = \overline{Y} - a \overline{X} \end{equation*}

決定係数

全変動・回帰変動・残差変動

x_iの回帰式による推定値を\hat{y}_i = a x_i + bで表す。

ここで、y_i,\: \hat{y},\: \overline{Y}によって、以下の変動が定義される。

y_i - \overline{Y}
全変動。平均からのデータのばらつき。
\hat{y}_i - \overline{Y}
回帰変動。平均からのばらつきのうち、回帰式によって説明される部分。
y_i - \hat{y}_i
残差変動。平均からのばらつきのうち、回帰式によって説明されない部分。

当然、[全変動]=[回帰変動]+[残差変動]となることはすぐに確認できる。

また、これら3つの変動の2乗和をTSS(Total Sum of Squares)、ESS(Explained Sum of Squares、RSS(Residual Sum of Squares)として、以下のように定義する。

(8)    \begin{eqnarray*} TSS &=& \sum_{i=1}^n (y_i - \overline{Y})^2 \\ ESS &=& \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \overline{Y})^2 \\ RSS &=& \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 \end{eqnarray*}

このとき、それぞれについて以下のように表せる。

(9)    \begin{eqnarray*} TSS &=& n {\sigma _Y}^2 \\ ESS &=& n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_x}^2} \\ RSS &=& n {\sigma_Y}^2 - n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \end{eqnarray*}

これらから、全変動・回帰変動・残差変動の2乗和についても、以下の関係が成り立つことがわかる。

(10)    \begin{equation*} TSS = ESS + RSS \end{equation*}

補足~ESS

式(9) のESSの確認。以下のように、線形変換された分散から導ける。

(11)    \begin{eqnarray*} ESS &=& \sum_{i=1}^n \left( a x_i +b - (a \overline{X} + b) \right)^2 \\ &=& n {\rm Var}(a X + b) \\ &=& na^2{\rm Var}(X) \\ &=& n a^2 {\sigma_x}^2 \\ &=& n \left( \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_x}^2} \right)^2 {\sigma_x}^2 \\ &=& n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_x}^2} \end{eqnarray*}

あるいは、以下のように地道に計算しても確認できる。

(12)    \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i - \overline{Y}) &=& \sum_{i=1}^n ({\hat{y}_i}^2 - 2 \hat{y}_i \overlne{Y} + \overline{Y}^2) \\ &=& \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i^2 - 2(a x_i + b) \overline{Y} +\overline{Y}^2) \\ &=& \sum_{i=1}^n (\hat{y}_i^2 - 2a x_i \overline{Y} - 2b\overline{Y} + \overline{Y}^2) \\ &=& \sum_{i=1}^n \hat{y}_i^2 - 2an \overline{X} \; \overline{Y} -2nb \overline{Y} + n \overline{Y}\end{eqnarray*} \\

ここで

(13)    \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n \hat{y}_i^2 &=& \sum_{i=1}^n (ax_i + b)^2 \\ &=&\sum_{i=1}^n (a^2 x_i^2 + 2ab x_i + b^2) \\ &=& a^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2abn \overline{X} + nb^2 \end{eqnarray*}

これを代入して、

(14)    \begin{eqnarray*} ESS &=& a^2 \sum_{i=1}^n x_i^2 + 2nab \overline{X} + nb^2 - 2na \overline{X} \; \overline{Y} - 2nb \overline{Y} + n \onerline{Y} \end{eqnarray*}

さらに\sum_{i=1}^n x_i^2 = \n \sigma_X^2 + n \overline{X}^2を考慮して、

(15)    \begin{eqnarray*} ESS &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + n a^2 \overline{X}^2 + 2nab \overline{X} + nb^2 -2na\overline{X}\;\overline{Y} - 2nb\overline{Y} + n\overline{Y}^2 \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + n(a \overline{X} - \overline{Y})^2 + 2nab\overline{X} + nb^2 - 2nb\overline{Y} \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + nb^2 + 2nab\overline{X} + nb^2 - 2nb\overline{Y} \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 + 2nb(b + a\overline{X} - \overline{Y}) \\ &=& n a^2 {\sigma_X}^2 \\ &=& n \left( \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_X}^2} \right)^2 {\sigma_X}^2 \\ &=& n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \end{eqnarray*}

補足~RSS

式(9) のRSSの確認。

(16)    \begin{eqnarray*} RSS &=& \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (y_i - a x_i - b)^2 \\ &=& \sum_{i=1}^n (y_i - a x_i - \overline{Y} + a \overline{X})^2 \\ &=& \sum_{i=1}^n \left(y _i - \overline{Y} - a (x_i - \overline{X}) \right) ^2 \\ &=& \sum_{i=1}^n \left(y _i - \overline{Y} - \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_X}^2} (x_i - \overline{X}) \right) ^2 \\ &=& n {\sigma_Y}^2 - 2n \frac{\sigma_{XY}}{{\sigma_X}^2} \sigma_{XY} + n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^4} {\sigma_X}^2 \\ &=& n {\sigma_Y}^2 - 2n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} + n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \\ &=& n {\sigma_Y}^2 - n \frac{{\sigma_{XY}}^2}{{\sigma_X}^2} \end{eqnarray*}

決定係数

決定係数は、全変動のうち回帰変動でどれだけ説明できるか(残差変動が少ないか)を表したもので、通常R^2で表される。

(17)    \begin{align*} R^2 = \frac{ESS}{TSS} = \frac{TSS - RSS}{TSS} = 1 - \frac{RSS}{TSS} \end{align*}

この値は、残差変動が小さいほど1に近づき、RSS = TSSすなわち全変動が回帰変動で全く説明できないときに0となる。

 

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