ポアソン分布

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Poisson分布の標準形

ポアソン過程の到着数に現れる、離散確率分布。

(1)   \begin{equation*} P(k; \lambda) = \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} \end{equation*}

全事象の確率が1となることの確認

(2)   \begin{equation*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} = e^{\lambda} e^{-\lambda} = 1 \end{equation*}

平均

(3)   \begin{eqnarray*} E(k) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda ^ k}{k!} e^{- \lambda} = e^{-\lambda} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda ^ k}{(k - 1)!} = e^{-\lambda} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ {k + 1}}{k!} = e^{-\lambda} \lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ {k}}{k!} \\ &=& \lambda e^{-\lambda} e^{\lambda} \\ &=& \lambda \end{eqnarray*}

この過程で以下のようになっていることに留意。

(4)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda ^ k}{k!} &=& 0\cdot \frac{\lambda ^0}{0!} + 1 \cdot \frac{\lambda ^1}{1!} + 2 \cdot \frac{\lambda ^2}{1 \cdot 2} + 3 \cdot \frac{\lambda ^3}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots + k\frac{\lambda ^k}{1 \cdots k} + \cdots \\ &=& \frac{\lambda ^1}{1} + \frac{\lambda ^2}{1} + \frac{\lambda ^3}{1 \cdot 2} + \cdots + \frac{\lambda ^k}{1 \cdots (k-1)} + \cdots \left( = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda ^ k}{(k - 1)!} \right) \\ &=& \frac{\lambda ^1}{0!} + \frac{\lambda ^2}{1!} + \frac{\lambda ^3}{2!} + \cdots + \frac{\lambda ^{k}}{k-1} + \cdots \left( = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^ {k + 1}}{k!} \right) \\ &=& \lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^k}{k!} \end{eqnarray*}

分散

(5)   \begin{equation*} V(k) &=& \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda ^k}{k!} e^{- \lambda} - \lambda^2 = e^{- \lambda} \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda ^k}{k!} - {\lambda}^2 \end{equation*}

第一項の和の部分については、

(6)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^2 \frac{\lambda ^k}{k!} &=& \sum_{k=1}^{\infty} k \frac{\lambda ^k}{(k - 1)!} = \sum_{k=0}^{\infty} (k + 1) \frac{\lambda ^(k + 1)}{k!} \\ &=& \lambda \sum_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda ^k}{k!} + \lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda ^k}{k!} \\ &=& \lambda ^2 e^\lambda + \lambda e^\lambda \end{eqnarray*}

したがって分散は以下のように得られる。

(7)   \begin{equation*} V(k) = \lambda \end{equation*}

確率分布の形状と考察

Poisson分布の形状の特徴は以下の通り。

  • \lambda < 1のときは単調減少
  • \lambda = 1のときk = 0, 1に対する確率が等しく、約0.368
  • \lambda > 1でピークが現れる。

statistics-poisson-distribution

statistics-poisson-table

\lambda < 1は、その観測期間内に平均して1回も来ないようなケース。たとえば\lambda = 0.5だと、平均して20分に1度来訪者が来ているとき次の10分に何人来そうか？といったイメージで、全く来ない確率が約60%、1人来る確率が約30%、2人以上来る確率が1割程度となる。ランダム事象と仮定したときの、災害に当てはめても興味深い。

\lambda = 1は、単位時間あたりの到着率に観測時間を乗じた値が1ということであり、平均的にその観測時間内に1回到着しそうな状況にあたる。このような状況でも全く到着がない確率と1回到着する確率が等しく約37%、2回以上到着する確率が25%強となる。

\lambda > 1の場合、\lambdaの値に近いところで確率が最大となり、\lambdaの値が大きくなるにしたがって高さは低く、裾野が広くなり対称形に近くなる。

 

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