ポアソン過程の到着間隔～指数分布

2016-09-02 / tau / コメントする

離散的な方法による確認

単位時間あたりの到着率 $\lambda$ のポアソン過程において、時刻0に到着が発生した後、次の到着があるまでの時間間隔が $t$ 以下である確率を考える。

$t$ を $n$ 等分し、 $\Delta t = t / n$ とすると、到着間隔が $t$ 以下なので、連続して到着しなかった後に到着が発生する事象を重ね合わせて、以下のように表せる。

(1) $\begin{eqnarray*} P(\tau \le t) &=& \lambda \Delta t + (1 - \lambda \Delta t)\lambda \Delta t + \cdots + (1 - \lambda \Delta t)^{n-1} \lambda \Delta t \\ &=& \lambda \Delta t \frac{1 - (1 - \lambda \Delta t)^n}{1 - (1 - \lambda \Delta t)} \\ &=& 1 - \left( 1 - \frac{\lambda t}{n} \right) \end{eqnarray*}$

ここで $-n/\lambda t = r$ とおいて $r \to \infty$ の極限をとると、

(2) $\begin{equation*} \lim_{r \to \infty} 1 - \left( 1 + \frac{1}{r} \right)^{-r \lambda t} = 1 - e^{- \lambda t} \end{equation*}$

となって指数分布の確率分布関数を得る。

確率密度関数を直接求める方法

到着時間間隔の確率密度関数を $f(x)$ とし、 $0 \sim t$ の間は到着が発生せず、 $t \sim t + \Delta t$ で到着が発生する場合を考える。

(3) $\begin{equation*} f(t) \Delta t = \left( 1 - \int_0^t f(t) dt \right) \lambda \Delta t \end{equation*}$

これより、

(4) $\begin{equation*} f(t) = \lambda - \lambda \int_0^t f(t) dt \end{equation*}$

両辺を $t$ で微分して、

(5) $\begin{equation*} f'(t) = - \lambda f(t) \end{equation*}$

この微分方程式の解は、

(6) $\begin{equation*} f(t) = C e^{- \lambda t} \end{equation*}$

確率密度関数なので、全定義域の積分値が1となることから、

(7) $\begin{equation*} \int_0^\infty C e^{- \lambda t} dt = \left[ - \frac{C}{\lambda} e^{- \lambda t} \right]_0^\infty = 1 \end{equation*}$

これより $C = \lambda$ を得るので、確率密度関数は以下のように得られる。

(8) $\begin{equation*} f(t) = \lambda e^{- \lambda t} \end{equation*}$

Poisson分布から導く方法

ポアソン過程に関して、以下のPoisson分布を考える。

(9) $\begin{equation*} P(X = k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{- \lambda t} \end{equation*}$

ここで、時刻 $T = 0 \sim t$ の間に全く到着がない確率はその時間の間 $k = 0$ であるから、

(10) $\begin{equation*} F(T > t) = e^{- \lambda t} \end{equation*}$

ここで、到着時間間隔が $t$ 以下である確率は、 $T = 0 \sim t$ の間に1回以上到着がある事象の和であり、「1回も到着がない」事象の余事象でもある。これより、以下の指数分布の分布関数を得る。

(11) $\begin{equation*} F(T \le t) = 1 - e^{- \lambda t} \end{equation*}$

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