二項定理

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二項定理の表現

(1)   \begin{align*} (x + y)^n &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \\ &= x^n + n x^{n-1}y + \cdots + \binom{n}{k} x^k y^{n-k} + \cdots + y^n \end{align*}

具体例

(2)   \begin{align*} (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 \\ (x + y)^3 &= x^3 + 3x^2 y +3x y^2 + x y^3 \\ (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4x y^3 + y^4 \end{align*}

証明

数学的帰納法で証明する。

n = 0のとき、

(3)   \begin{equation*} (x + y)^0 = \binom 00 x^0 y^0 = 1 \end{equation*}

n = 1のとき、

(4)   \begin{equation*} (x + y)^1 = \binom 10 x^1 y^0 + \binom 11 x^0 y^1 = x + y \end{equation*}

ここでn-1のときに以下が成り立つとする。

(5)   \begin{equation*} (x + y)^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} x^{n-1-k} y^k \end{equation*}

このときnに関しては、

(6)   \begin{eqnarray*} (x + y)^n &=& (x + y) \sum_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}{k} x^{n-1-k} y^k \\ &=& \sum_{k=0}^{n-1} \binom {n-1}{k} (x^{n-k} y^k + x^{n-1-k} y^{k+1}) \end{eqnarray*}

これを右辺は以下のように展開できる。

\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrrr} & x^n & + & (n-1) x^{n-1} y & \cdots & \binom{n-1}{k} x^{n-k} y^k & \cdots & x y^{n-1} \\ + &&& x^{n-1} y & \cdots & \binom{n-1}{k-1} x^{n-k} y^k &\cdots & (n-1) x y^{n-1} & + & y^n \\ \hline & x^n & + & n x^{n-1} y & \cdots & \left( \binom{n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1}\right) x^{n-k}{k} & \cdots & n x y^{n-1} & + & y^n \\ \end{array} \\

(7)   \begin{eqnarray*} \binom{n-1}{k} - \binom{n-1}{k-1} &=& \frac{(n-1)!}{(n-k-1)! k!} - \frac{(n-1)!}{(n-k)! (k-1)!} \\ &=& (n-1)! \frac{(n-k) - k}{(n-k)! k!} = \binom nk \end{eqnarray*}

これより、n \ge 0に対して(1)が証明された。

パスカルの三角形

数のような数による三角形をパスカルの三角形(Pascal’s triangle)と呼び、n行目の数の列が二項展開のn乗の係数となっている。

各項の計算の仕方は、一つ上の段の左右の数の和として求めていく（左端・右端の外側はゼロと考える）。

pascals-triangle

パスカルの三角形の各項が二項展開の計数となること、すなわちm段目のn項目の数をa_{m \cdot n}とし、これが\binom{m-1}{n-1}となることを、数学的帰納法で証明する。

(8)   \begin{eqnarray*} a_{2 \cdot 1} &=& \binom{1}{0} = 1 \\ a_{2 \cdot 2} &=& \binom{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}

(9)   \begin{eqnarray*} a_{m \cdot n} &=& a_{m-1 \cdot n-1} + a_{m-1 \cdot n} = \binom{m-2}{n-2} + \binom{m-2}{n-1} \\ &=& \frac{(m-2)!}{(m-n)!(n-2)!} + \frac{(m-2)!}{(m-n-1)!(n-1)!} \\ &=& (m-2)! \frac{(n-1) + (m-n)}{(m-n)!(n-1)!} = \frac{(m-1)!}{(m-n)!(n-1)!} \\ &=& \binom{m-1}{n-1} \end{eqnarray*}

 

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