コーシー・シュワルツの不等式

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公式

Cauchy-Schwaltz inequality

(1)   \begin{equation*} \left( \sum_{i=1}^n a_i ^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n b_i ^2 \right) \ge \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right) ^2 \end{equation*}

証明

n=2の場合

(2)   \begin{equation*} \left( a_1^2 + a_2^2 \right) \left(b_1^2 + b_2^2 \right) \ge \left( a_1 b_1 + a_2 b_2 \right) ^2 \end{equation*}

(3)   \begin{align*} &\left( a_1^2 + a_2^2 \right) \left(b_1^2 + b_2^2 \right) - \left( a_1 b_1 + a_2 b_2 \right) ^2 \\ &= a_1 ^2 b_1^2 + a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 + a_2^2 b_2^2 - a_1^2 b_1^2 - 2 a_1 b_1 a_2 b_2 - a_2^2 b_2^2 \\ &= a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 - 2 a_1 b_1 a_2 b_2 \\ &= \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) ^2 \ge 0 \end{align*}

nが任意の場合

2次方程式の判別式による方法

以下の2次方程式を考える。

(4)   \begin{equation*} \sum_{i=1}^n \left( a_i x + b_i \right)^2 = 0 \end{equation*}

ここで関数f(x) = \sum_{i=1}^2 (a_i x + b_i)^2 \ge 0であり、上記の2次方程式の数は0個または1個である。

この方程式は以下のように変形できる。

(5)   \begin{equation*} \left( \sum a_i^2 \right) x^2 + 2 \left( \sum a_i b_i \right) x + \left( \sum b_i^2 \right) = 0 \end{equation*}

もとの方程式の解の個数が0 or 1なので、上記の方程式の判別式から

(6)   \begin{gather*} 4 \left( \sum a_i b_i \right)^2 - 4 \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum b_i^2 \right) \le 0 \\ \therefore \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum b_i^2 \right) \ge \left( \sum a_i b_i \right)^2 \end{gather*}

イメージ

{\boldsymbol a} = (a_1, \ldots , a_n)、{\boldsymbol b} = (b_1, \ldots , b_n)とすると、ベクトルの内積となす角の関係から

(7)   \begin{gather*} \left( {\boldsymbol a}{\boldsymbol b} \right)^2 = \left( \sum a_i b_i \right)^2 = | {\boldsymbol a} |^2 | {\boldsymbol b} |^2 \cos^2 \theta \le | {\boldsymbol a} |^2 | {\boldsymbol b} |^2 = \left( \sum a_i^2 \right) \left( \sum a_i^2 \right) \end{gather*}

 

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