複利計算 – TauStation

1 概要
2 預金の複利計算
- 2.1 一時払い
- 2.2 積立て
3 借金の複利計算

概要

複利計算でいろいろなサイトを見るが、どれも前提なしで話を始めたりいきなりExcelの関数を使ったりするものばかりで、スタートラインからどう考えているのかを説明するものにあたらなかった（きっとあるのだろうけれど）。

なので、自分なりの頭の整理のために一から組み立ててみる。

預金の複利計算

一時払い

一時払いは、最初に一定金額を預けた後は預金口座に手を触れずに、満期や解約の時にいくらになるかというもので、これは比較的わかりやすい。たとえば年率1%の預金に100万円を預けたら10年後にいくらになっているか、というような計算。表計算で計算すると以下のようになる。

このとき、以下のような仕組みだということを明記しておく。

期首の途中に預けても、期末までに年利率がすべて適用される（日割りなどはされない）
その年利率を適用した利子が期首金額に加えられ、翌期の期首金額となる
毎年の利子の計算の際、小数点以下は切り落としている

これくらいだと、元本に対して利率1%を定額で10年適用した結果と変わらない。ところが50年も置いておくと最終金額は16,443円になり、定額の15,000円との乖離が大きくなってくる。

年利率を2%にすると様相が変わってきて、10年後の利子は2,186円、50年後には利子分で16,873円になる。

50年間の預金額の変化を1%、2%の定額と複利で比較してみると以下のようになる。

所謂指数関数で、利率が大きくなると、あるいは期間が長くなるとカーブの上がり方が急になる。

こういった計算は高校で数列を習うと教えてくれる。たとえば上の例で、預入金額をa、年利率をRとするとn年目の期末残高bは以下のように表される。

(1) $\begin{equation*} b = a (1+R)^n \end{equation*}$

この式に上の金額や利率、年数を入れると同じ結果が出ることが確認できる。式で計算した方が数円額が大きくなるが、これは表計算の際に端数を切り落としたのに対して、数式では丸めずに計算するからである。

積立て

たとえば毎年10万円を積み立てながら年利率1%を適用した時にどうなるか。この場合は、前期末の金額に積立額を加えた額が期首金額となり、以下のような結果になる。

これを定式化するのに次のように考える。毎月a円を積み立てるとして1年目の期末金額b₁は、

(2) $\begin{equation*} b_1 = a (1+R) \end{equation*}$

2年目の期末残高は、この期末残高にa円を加えて利率を適用するので、

(3) $\begin{equation*} b_2 = (b_1 + a) (1+R) = \left( a (1+R) + a \right) (1+R) = a(1+R) + a(1+R)^2 \end{equation*}$

これをn年目まで繰り返すと、最終的な残高は以下のようになる。各月に預けた額ごとに、現在までの利子が複利で適用されて積み重なっているのが表現されている。

(4) $\begin{equation*} b_n = a (1+R) + a (1+R)^2 + \cdots + a(1+R)^n \end{equation*}$

これは初項がa (1 + R)、公比が1 + Rの等比数列の和になるので、預金残高は以下の式で計算できる。

(5) $\begin{align*} b_n &= a (1+R) \frac{1 - (1+R)^n}{1 - (1+R)} = a(1+R) \frac{(1+R)^n - 1}{R} \\ &=a \frac{(1+R)^{n+1} - R - 1}{R} \end{align*}$

借金の複利計算

元利均等返済方式

借金を返す場合、期首に残っている額に利子を掛けた要返済額から各期の返済額を引いた額が翌期首の残額となる。利率は年率表示だが、返済は月ごととし、月利率＝年利率÷12とする。

年利3%で120万円を借り入れて、毎月返済して12か月で返すケースを考え、月ごとの額を同額としたいとする。試みに、120万円に利子がつかないとすると毎月10万円を返せばいいが、この場合は積み重なっていく利子の分だけ返しきれない。

次に120万円に対して12か月間の月利率を複利で適用すると120×1.0025¹²≒123万6500円。これを12か月で割ると、突き当りの返済額は約1万3千円となる。これは毎月の返済を全くしない想定なので、実際に借入残高が減っていくのに対して返しすぎることになる。

この2つの値の間で二分法で答えを探していくと、以下の額に到達する。この時の利子の総額は19,584円で、借り入れの利回りは約1.632%になる。

これを数式で表現してみる。借入額をa、月利をr、返済額pとすると、一月目の借入残額b₁は、

(6) $\begin{equation*} b_1 = a (1+r) - p \end{equation*}$

二月目の借入残額b₂は、一月目の残額に月利を適用してから返済するので、

(7) $\begin{align*} b_2 &= b_1 (1+r) - p = \left( a (1+r) - p \right) (1+r) - p \\ &= a (1+r)^2 - p (1+r) - p \end{align*}$

これは、n月までに借入額に複利で計算した額に対して、返す方も毎月の月数に応じた複利で足し上げて返しますよということになる。これをn月後まで続けた残額b_nは以下のようになる。

(8) $\begin{align*} b_n &= a (1+r)^n - p (1+r)^{n-1} - \cdots - p \\ &= a (1+r)^n - p \frac{1 - (1+r)^n}{1 - (1+r)} \\ &= a (1+r)^n - p \frac{(1+r)^n - 1}{r} \end{align*}$

n月目で残額がゼロとなるようにすると、毎月の返済額pは以下で表される。

(9) $\begin{align*} p = a (1+r)^n \frac{r}{(1+r)^n - 1} \end{align*}$

先ほどの計算では手計算で収束させたが、利率が与えられたときの元利均等の返済額は解析的に求めることができる。表計算ソフトの関数も、この煩雑な関数をシンプルに表現しているに過ぎない。

元本均等方式

元金均等方式は借入額を返済期数で割って均等とし、これに毎期の発生する利子を加えて返済する。この場合の利子総額は19,500円で、借り入れ利回りは1.625%となる。

借入額をa、借り入れ期数をm、月利をr、一月目の借入利子i₁とすると、残額b₁は、

(10) $\begin{equation*} b_1 = a (1+r) - \frac{a}{m} - ar = a - \frac{a}{m} \end{equation*}$

二月目の残額b₂は、

(11) $\begin{equation*} b_2 = b_1 (1+r) - \frac{a}{m} - b_1 r = b_1 - \frac{a}{m} = a - 2 \frac{a}{m} \end{equation*}$

これを繰り返してn月目の残額は、

(12) $\begin{equation*} b_n = a - n \frac{a}{m} \end{equation*}$

n期目の利子額i_nは、n − 1期末の残額に利率を適用して、以下で計算される。

(13) $\begin{equation*} i_n = \left( a - (n - 1) \frac{a}{m} \right) r \end{equation*}$

アドオン方式

この方法は、単利計算に相当し、元本とそれに対する利子の総額を期数で割って均等化した額を返済する。利率は年率を用いて利子を計算し、これを月ごとに均等に割る。これまでの例で計算すると、利子総額は36,000円で、借り入れ利回りは3%。

毎月の返済額pは、借入額aに年利Rをそのまま適用して期数mで割ればよい。

(14) $\begin{equation*} p = \frac{a (1 + R)}{m} \end{equation*}$

比較

元利均等方式は、初期の残額が大きいときの利子を後期に分担させて返済額を均等にする。返済計画が明瞭になるため、一般的なローンに用いられる。

これに対して元本均等方式は初期の残額に対する利子をそのまま負担するので、元利均等方式に比べて初期の利払いが多くなる。逆に早い段階から大きな額で返済していくため、トータルの利払いは元本均等方式の方が元利均等方式よりも少なくなる。企業の資金借入れはこの方法が多い。

アドオン方式は返済中の元利の減少を全く考慮しないため、利払いが最も大きくなる。毎月の返済額が一定で計算も簡単なため、割賦販売の場合に用いられる。

概要