最大公約数・最小公倍数

約数

約数の定義

整数Nの約数(divisor, factor)とは、Nを割り切る整数(余りが生じない除数)。

整数mNの約数であるとき、m|Nと表し、ある整数aに対してN=maが成り立つことでもある。一般には自然数あるいは0以上の整数で考える。

通常はm \ne 0の条件を課すが、0も含める場合は、N=0の時に限り0が約数になる。

例えば12の約数は、以下の6個。

(1)   \begin{align*}&12 \div 1 = 12 \\&12 \div 2 = 6 \\&12 \div 3 = 4 \\&12 \div 4 = 3 \\&12 \div 6 =2 \\&12 \div 12 = 1\end{align*}

効率的な約数の求め方

m|Nであるとき、\frac Nm|Nである。これよりm = \frac Nmとして、\sqrt N以下の約数m_iを求め、あとはN/m_iを計算すれば、手間が半分で済む。

Nが平方数の場合は\sqrt Nも約数となり、約数の総数は奇数個、平方数でない場合は偶数異なる。

0、1の約数

0の約数は0 = maとなる整数mであり、0以上の全ての整数である。

1の約数は1 = maとなる整数mであり、1のみ。

1は全ての整数の約数。

素数の約数

素数の定義が「1と自身以外に約数を持たない数」なので、約数は2個。

公約数

2つの数の公約数は、それらの最大公約数の約数。

0、1との公約数

aと1の公約数は1のみ。

aと0の公約数は、aの約数全て(0の約数は0以上の全ての整数)。

公約数と剰余

a \mod b = rのとき、a, bの公約数はb, rの公約数でもある。

最大公約数

2つの数の最大公約数(greatest common divisor)を、\gcd(a, b)のように表す。

最大公約数を求める手順として、にユークリッドの互除法がある。

0、1との最大公約数

(2)   \begin{gather*}\gcd(a, 0) = a \\\gcd(a, 1) = 1\end{gather*}

最大公約数と剰余

被除数と除数の最大公約数は、除数と剰余の最大公約数でもある。

(3)   \begin{equation*}a \mod b = r \Rightarrow \gcd(a, b) = \gcd(b, r)\end{equation*}

倍数

倍数(multiple)とは、ある数a(整数に限らない)を整数倍した数である。

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{gather}\cdots -3a, -2a, -a, 0, a, 2a, 3a, \cdots\betin{gather}

*** Error message:
\begin{gather} on input line 8 ended by \end{document}.
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Undefined control sequence \betin.
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Emergency stop.

  • 0の倍数は0のみ
  • 0はすべての数の倍数
  • すべての数は自分自身の倍数
  • すべての整数は1と-1の倍数

最小公倍数

最小公倍数(least common multiple)とは、2つの整数の公倍数のうち、正で最小のもの。

たとえば36と56の最小公倍数は504。

最大公約数と最小公倍数の積

2つの数a, bの積は、それらの最大公約数と最小公倍数の積に等しい。

(4)   \begin{equation*}ab = \gcd(a, b) \cdot \operatorname{lcm}(a, b)\end{equation*}

 

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