直線のパラメータ表示と操作

1 直線のパラメータ表示
2 直線の決定
- 2.1 通過点と方向が与えられた場合
- 2.2 2つの通過点が与えられた場合
3 直線の式との関係
4 交点の特定
5 交点の位置

直線のパラメータ表示

たとえば2次元の直線のパラメータ表示は、以下のように一つのパラメータtに対してxとyが計算される方法。

$\left\{ \begin{align*} x = a t + b \\ y = c t + d \end{align} \right.$

直線の決定

通過点と方向が与えられた場合

直線が通過すべき点(p_x, p_y)と、直線の方向(v_x, v_y)が与えられた場合のパラメータ表示を決定する。

通過点でパラメータがt = 0とすればp_xとp_yが定まり、tが1単位増えた時のxとyの増分が直線の方向に対応することから、以下のように表される。

$\left\{ \begin{align*} x = v_x t + p_x \\ y = v_y t + p_y \end{align} \right.$

なおこれらを、パラメータtに対応した直線状の点の位置ベクトル ${\bf x}$ 、通過点の位置ベクトル ${\bf p}$ 、方向ベクトル ${\bf v}$ で表示すると下記のようになる。

${\bf x} = {\bf v} t + {\bf p}$

2つの通過点が与えられた場合

2つの点p(p_x, p_y)とq(q_x, q_y)が与えられた場合の直線のパラメータ表示を決定する。

点pでt = 0、点qでt = 1とすれば、以下の式が得られる。

$\left\{ \begin{align*} x = (q_x - p_x) t + p_x \\ y = (q_y - p_y) t + p_y \end{align} \right.$

これをベクトル表示すれば以下の通り。

${\bf x} = ( {\bf q} - {\bf p} ) t + {\bf p}$

直線の式との関係

一般に直線の式は以下で与えられる。

$ax + by + c = 0$

一方で媒介変数された直線の式からパラメーターを消去すると以下のようになる。

$\frac{x - p_x}{v_x} = \frac{y - p_y}{v_y}$

これを変形すると、先の直線の式との対応関係がわかる。

$v_y x - v_x y -v_x p_x + v_y p_y = 0$

交点の特定

以下の2つの直線の交点を求める。

$\left\{ \begin{align*} {\bf x}_1 = {\bf v}_1 t_1 + {\bf p}_1 \\ {\bf x}_2 = {\bf v}_2 t_2 + {\bf p}_2 \end{align}$

これを要素表示に展開する。

$\left\{ \begin{align*} x_1 = v_{1x} t_1 + p_{1x} \\ y_1 = v_{1y} t_1 + p_{1y} \\ x_2 = v_{2x} t_2 + p_{2x} \\ y_2 = v_{2y} t_2 + p_{2y} \end{align}$

ここでx₁ = x₂、y₁ = y₂と置いて、t₁、t₂を未知数とした以下の方程式を得る。

$\left\{ \begin{align*} v_{1x} t_1 + p_{1x} = v_{2x} t_2 + p_{2x} \\ v_{1y} t_1 + p_{1y} = v_{2y} t_2 + p_{2y} \end{align}$

この方程式を行列で表示すると以下の通り。

$\left[ \begin{array}{cc} v_{1x} & -v_{2x} \\ v_{1y} & -v_{2y} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} t_1 \\ t_2 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} p_{2x} - p_{1x} \\ p_{2y} - p_{1y} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \Delta p_x \\ \Delta p_y \end{array} \right]$

これを解いて以下を得る。

$\left\{ \begin{align*} t_1 = \frac{-v_{2y} \Delta p_x + v_{2x} \Delta p_y}{-v_{1x}v_{2y} + v_{1y} v_{2x}} \\ t_2 = \frac{-v_{1y} \Delta p_x + v_{1x} \Delta p_y}{-v_{1x}v_{2y} + v_{1y} v_{2x}} \end{align} \right.$

これらの式は分母がゼロのときは解をもたないが、これは ${\bf v}_1$ と ${\bf v}_2$ を90度回転させたベクトルが直角であること、すなわち2つの直線の方向が平行であることを示している。

さらに2つの直線がまったく一致するときは、分母・分子ともゼロとなり、解は不定となる。

ここで、交点の座標を確認する。

$\begin{align*} x &= v_{1x} t_1 + p_{1x} = v_{2x} t_2 + p_{2x} \\ &= \frac{v_{1y} v_{2x} p_{1x} - v_{1x} v_{2y} p_{2x} + v_{1x} v_{2x}(p_{2y} - p_{1y})} {-v_{1x} v_{2y} + v_{1y} v_{2x}} \\ y &= v_{1y} t_1 + p_{1y} = v_{2y} t_2 + p_{2y} \\ &= \frac{v_{1y} v_{2y} (p_{2x} - p_{1x}) - v_{1x} v_{2y} p_{1y} + v_{1y} v_{2x} p_{2y}} {-v_{1x} v_{2y} + v_{1y} v_{2x}} \end{align}$

当然この結果は、パラメータ表示の2直線からパラメータt₁、t₂を消去して陰関数表示をした以下の方程式の解と一致する。

$\left\{ \begin{align*} v_{1y} x - v_{1x} y = v_{1y} p_{1x} - v_{1x} p_{1y} \\ v_{2y} x - v_{2x} y = v_{2y} p_{2x} - v_{2x} p_{2y} \end{align} \right.$

交点の位置

パラメータ表示の場合、基準点においてt = 0とし、方向ベクトルの先、あるいはそれに相当する2つ目の点においてt = 1などとすれば、基準点から方向ベクトルの先のtは正の値、逆方向ではtが負の値になる。

これを利用して、二つの直線の交点が基準点より前方／後方どちらの側にあるか、あるいは半直線に交点が存在するか、といった判定が容易に可能となる。

math_geom_line1

TauStation

直線のパラメータ表示と操作