数列の和と階差数列

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定数数列

定数数列の和は、定数の項数倍。

(1)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} a = an \end{equation*}

等差数列

等差数列a_n = a + d(n - 1)の和は、初項と末項の和に項数を乗じた数の1/2。

(2)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} (a + d(k-1)) = \frac{1}{2}n(a_1 + a_n) \end{equation*}

特に、

(3)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2} \end{equation*}

証明1

等差数列のn項目までの和をS_nとすると、

(4)   \begin{eqnarray*} & & \begin{array}{rcccccccc} S_n &= &a_1 &+ &(a_1 + d) &+ &\cdots & + &a_n \\ S_n &= &a_n &+ &(a_n - d) &+ &\cdots &+ &a_1 \\ \hline 2 S_n &= &(a_1 + a_n) &+ &(a_1 + a_n) &+ &\cdots &+ &(a_1 + a_n) } \end{array} \\ \\ & & \therefore \quad S_n = \frac{1}{2} n (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}

証明2

式(3)を使って、

(5)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n (a + d(k - 1)) &=& an + d \frac{n (n + 1)}{2} - dn \\ &=& \frac{1}{2} n (2a + dn + d - 2d) \\ &=& \frac{1}{2} n (a + a + d(n-1)) \\ &=& \frac{1}{2} n (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}

等比数列

等比数列a_n = a r^{n-1}の和は以下の通り。

(6)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^n a r^{k-1} = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \end{equation*}

特に、

(7)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} r^k = r \frac{1 - r^n}{1 - r} \end{equation*}

証明

等差数列のn項目までの和をS_nとすると、

(8)   \begin{eqnarray*} & &\begin{array}{rrrrrrrrrrr} S_n& = &a &+ &a r &+ &\cdots &+ &a r^{n-1} \\ r S_n &= & & &a r &+ &\cdots &+ &a r^{n-1} &+ &a r^n \\ \hline (1 - r) S_n &= &a & & & & & & &- &a r^n \\ \end{array} \\ \\ & & \therefore \quad S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \end{eqnarray*}

等比・等差の複合数列

等差部分と等比部分の両方を含んだ数列の部分和。

(9)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} k r^k = r \frac{1 - (n + 1) r^n + n r^{n + 1}}{(1 - r)^2} \end{equation*}

証明1

一般的な部分和の差を用いる方法。

(10)   \begin{eqnarray*} & &\begin{array}{rrrrrrrrrrr} S_n& = &1 \cdot r^1 &+ &2 \cdot r^2 &+ &\cdots &+ &n r^n \\ r S_n &= & & &1 \cdot r^2 &+ &\cdots &+ &(n - 1) r^n &+ &n r^{n + 1} \\ \hline (1 - r) S_n &= &r &+ &r^2 &+ &\cdots &+ &r^n &- &n r^{n+1} \end{array} \\ \\ & &(1 - r) S_n = r \frac{1 - r^n}{1 - r} - n r^{n+1}\\ & & \therefore \quad S_n = r \frac{1 - r^n}{(1 - r)^2} - n \frac{r^{n+1}}{1 - r} = r \frac{1 - (n + 1) r^n + n r^{n + 1}}{(1 - r)^2} \end{eqnarray*}

証明2

微分を用いる方法。等比数列の公式、

(11)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^n r^k = \frac{r (1 - r^n)}{1 - r} \end{equation*}

の両辺をrで微分すると、

(12)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k r^{k - 1} &=& \frac{(1 - r)(1 - (n + 1) r^n) + r(1 - r^n)}{(1 - r)^2} \\ &=& \frac{1 - (n+1) r^n + n r^{n+1}}{(1 - r)^2} \end{eqnarray*}

両辺をr倍して同じ式を得る。

べき乗の数列

∑k2

(13)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{equation*}

証明

以下の式から出発する。

(14)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \left( (k + 1)^3 - k^3 \right) &=& (n+1)^3 - 1 \\ \sum_{k=1}^{n} \left( (k + 1)^3 - k^3 \right) &=& \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1) \end{eqnarray*}

これより、

(15)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k^2 &=& \frac{(n+1)^3 - 1}{3} - \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n}{3} \\ &=& \frac{2n^3 + 6n^2 + 6n - 3n^2 - 3n - 2n}{6} \\ &=& \frac{n(2n^2 + 3n +1)}{6} \\ &=& \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}

∑k3

(16)   \begin{equation*} \sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2 (n+1)^2}{4} \end{equation*}

証明

上記と同じように、

(17)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} \left( (k + 1)^4 - k^4 \right) &=& (n+1)^4 - 1 \\ \sum_{k=1}^{n} \left( (k + 1)^4 - k^4 \right) &=& \sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) \end{eqnarray*}

これより、

(18)   \begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n} k^3 &=& \frac{(n+1)^4 - 1}{4} - \frac{6}{4} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} -\frac{n(n+1)}{2} - \frac{n}{4} \\ &=& \frac{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n - 2n^3 - 3n^2 - n - 2n^2 - 2n - n}{4} \\ &=& \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4} \\ &=& \frac{n^2 (n+1)^2}{4} \\ \end{eqnarray*}

階差数列

数列a_nの階差数列が扱いやすい数列の場合。

(19)   \begin{equation*} a_{n+1} - a_n = b_n \end{equation*}

a_nの各項は、a_1]～a_nの和をとることで以下のように得られる。

(20)   \begin{equation*} a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_i \end{equation*}

【例】

a_nの階差数列がa_n - a_{n-1} = 2n - 1でa_1 = 1のときの数列a_nは以下のようになる

    \begin{equation*} 1 \underbrace{\quad}_{1} 2 \underbrace{\quad}_{3} 5 \underbrace{\quad}_{5} 10 \cdots \end{equation*}

この数列の一般項は、

(21)   \begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2i - 1) \\ &=& 1 + 2 \frac{(n - 1) n}{2} - (n - 1) \\ &=& n^2 - 2n + 2 \end{eqnarray*}

上式はn = 1の時も初期条件a_1 = 1を満足する。

 

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