数列の和と階差数列

定数数列

定数数列の和は、定数の項数倍。

(1)    \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} a = an \end{equation*}

等差数列

等差数列a_n = a + d(n - 1)の和は、初項と末項の和に項数を乗じた数の1/2。

(2)    \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} (a + d(i-1)) = \frac{1}{2}n(a_1 + a_n) \end{equation*}

特に、

(3)    \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} \end{equation*}

【導出1】

等差数列のn項目までの和をSnとすると、

(4)    \begin{eqnarray*} &  & \begin{array}{rcccccccccc} S_n &= &a_1 &+ &(a_1 + d) &+ &\cdots &+ &(a_n - d) &+ &a_n \\ S_n &= &a_n &+ &(a_n - d) &+ &\cdots &+ &(a_1 + d) &+ &a_1 \\ \hline 2 S_n &= &(a_1 + a_n) &+ &(a_1 + a_n) &+ &\cdots &+ &(a_1 + a_n) &+ &(a_1 + a_n) } \end{array} \\ \\ & & \therefore \quad S_n = \frac{1}{2} n (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}

【導出2】

式(3)を使って、

(5)    \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n (a + d(i - 1)) &=& an + d \frac{n (n + 1)}{2} - dn \\ &=& \frac{1}{2} n (2a + dn + d - 2d) \\ &=& \frac{1}{2} n (a + a + d(n-1)) \\ &=& \frac{1}{2} n (a_1 + a_n) \end{eqnarray*}

等比数列

等比数列a_n = a r^{n-1}の和は以下の通り。

(6)    \begin{equation*} \sum_{i=1}^n a r^{n-1} = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \end{equation*}

特に、

(7)    \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} r^i = r \frac{1 - r^n}{1 - r} \end{equation*}

【導出】

等差数列のn項目までの和をSnとすると、

(8)    \begin{eqnarray*} & &\begin{array}{rrrrrrrrrrr} S_n& = &a &+ &a r &+ &\cdots &+ &a r^{n-1} \\ r S_n &= & & &a r &+ &\cdots &+ &a r^{n-1} &+ &a r^n \\ \hline (1 - r) S_n &= &a & & & & & & &- &a r^n \\ \end{array} \\ \\ & & \therefore \quad S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \end{eqnarray*}

等比・等差の複合数列

等差部分と等比部分の両方を含んだ数列の部分和。

 \begin{equation} \sum_{i=1}^{n} i r^i = r \frac{1 - (n + 1) r^n + n r^{n + 1}}{(1 - r)^2} \end{equateion}

【導出1】

一般的な部分和の差を用いる方法。

(9)    \begin{eqnarray*} & &\begin{array}{rrrrrrrrrrr} S_n& = &1 \cdot r^1 &+ &2 \cdot r^2 &+ &\cdots &+ &n r^n \\ r S_n &= & & &1 \cdot r^2 &+ &\cdots &+ &(n - 1) r^n &+ &n r^{n + 1} \\ \hline (1 - r) S_n &= &r &+ &r^2 &+ &\cdots &+ &r^n &- &n r^{n+1} \end{array} \\ \\ & &(1 - r) S_n = r \frac{1 - r^n}{1 - r} - n r^{n+1}\\ & & \therefore \quad S_n = r \frac{1 - r^n}{(1 - r)^2} - n \frac{r^{n+1}}{1 - r} = r \frac{1 - (n + 1) r^n + n r^{n + 1}}{(1 - r)^2} \end{eqnarray*}

【導出2】

微分を用いる方法。等比数列の公式、

(10)    \begin{equation*} \sum_{i=1}^n r^i = \frac{r (1 - r^n)}{1 - r} \end{equation*}

の両辺をrで微分すると、

(11)    \begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n i r^{i - 1} &=& \frac{(1 - r)(1 - (n + 1) r^n) + r(1 - r^n)}{(1 - r)^2} \\ &=& \frac{1 - (n+1) r^n + n r^{n+1}}{(1 - r)^2} \end{eqnarray*}

両辺をr倍して同じ式を得る。

階差数列

数列anの階差数列bnが扱いやすい数列の場合。

(12)    \begin{equation*} a_{n+1} - a_n = b_n \end{equation*}

anの各項は、a1~anの和をとることで以下のように得られる。

(13)    \begin{equation*} a_n = a_1 + \sum_{i=1}^{n-1} b_i \end{equation*}

【例】

anの階差数列がan – an-1 = 2n – 1でa1 = 1のときの数列anは、以下のようになる

    $$ 1 \underbrace{\quad}_{1} 2 \underbrace{\quad}_{3} 5 \underbrace{\quad}_{5} 10 \cdots $$

この数列の一般項は、

(14)    \begin{eqnarray*} a_n &=& a_1 + \sum_{i=1}^{n-1} (2i - 1) \\ &=& 1 + 2 \frac{(n - 1) n}{2} - (n - 1) \\ &=& n^2 - 2n + 2 \end{eqnarray*}

上式はn = 1の時も初期条件a1 = 1を満足する。

 

 

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