単純な事象の平均と分散

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コイン

コイントスで表→1、裏→0としたときの平均、分散。分布は{表, 裏]の一様分布。

平均

(1)   \begin{equation*} E(X) = 0\times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \end{equation*}

分散

(2)   \begin{equation*} V(X) = 0^2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 \cdot \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \end{equation*}

サイコロ

サイコロ1つを投げたときの目の数の平均、分散。分布は{1,2, 3, 4, 5, 6}の一様分布。

平均

(3)   \begin{equation*} E(X) = \sum_{k=1}^6 k \times \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5 \end{equation*}

分散

(4)   \begin{eqnarray*} V(X) &=& \sum_{k=1}^6 k^2 \times \frac{1}{6} - \left( \frac{7}{2} \right)^2 = \frac{1 + 4 + 9 +16 + 25 + 36}{6} - \frac{49}{4} \\ &=& \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{364-294}{24} = \frac{70}{24} \\ &=& \frac{35}{12} \simeq 2.92 \end{eqnarray*}

トランプ

トランプを一枚引いたときの数の平均、分散。ここでAは1とする。分布は{1, …, 13}の一様分布。

平均

(5)   \begin{equation*} E(X) = \sum_{k=1}^{13} k\times \frac{1}{13} = \frac{13 \times 14}{2} \cdot \frac{1}{13} = 7 \end{equation*}

分散

(6)   \begin{eqnarray*} V(X) &=& \sum_{k=1}^{13} k^2 \times \frac{1}{13} - 7^2 \\ &=& \frac{13 (13+1) (2 \cdot 13 +1)}{6} \frac{1}{13} -49 = \frac{14 \cdot 27}{6} -49 = 7 \cdot 9 - 49 \\ &=& 14 \end{eqnarray*}

 

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