ポアソン過程の到着数～ポアソン分布

単位時間当たりの到着率 $\lambda$ のポアソン過程において、 $t$ 時間の間に $k$ 回の到着が発生する確率を考える。

$t$ を $n$ 等分し、 $\Delta t = t / n$ とする。この間に $k$ 回の到着が発生し、 $(n - k)$ 回は到着が発生しないとすると、その確率は次の二項分布で表される。

(1) $\begin{equation*} P(k;t;n) = {}_n C_k (\lambda \Delta t)^k (1 - \lambda \Delta t)^{n-k} \end{equation*}$

この式を、以下のように展開しておく。

(2) $\begin{eqnarray*} P(k;t;n) &=& \frac{n!}{k! (n-k)!} (\lambda \Delta t)^k (1 - \lambda \Delta t)^{n - k} \\ &=& \frac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k!} \left( \frac{\lambda t}{n} \right)^k \left(1 - \frac{\lambda t}{n} \right)^{n - k} \end{eqnarray*}$

ここで $n \to \infty (\Delta t \rightarrow 0)$ の極限を考える。まず前2項については、

(3) $\begin{eqnarray*} &&\lim_{n \to \infty} \frac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k!} \left( \frac{\lambda t}{n} \right)^k \\ &=& \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot \left(1 - \cfrac{1}{n} \right) \cdots \left(1 - \cfrac{k - 1}{n} \right)}{k!} (\lambda t)^k \\ &=& \frac{(\lambda t)^k}{k!} \end{eqnarray*}$

また3項目については $-n / \lambda t = r \to \infty$ とおいて、

(4) $\begin{equation*} \lim_{r \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{r} \right)^{- r \lambda t - k} = \lim_{r \to \infty}\left[ \left(1 + \frac{1}{r} \right)^{- r \lambda t} \left( 1 + \frac{1}{r} \right)^{-k} \right] = e^{- \lambda t} \end{equation*}$

通常、Poisson分布の表現は上式において $\lambda t \to \lambda$ として表現されるが、この場合の $\lambda$ は観測時間内の平均到着数として考える。ここでは、単位時間あたりの到着率 $\lambda$ と観測時間 $t$ を明確にするため $\lambda t$ と表現した。

以上から、到着率 $\lambda$ のポアソン過程において、観測時間 $t$ の間に $k$ 回の到着が発生する確率は以下のPoisson分布で与えられる。

(5) $\begin{equation*} P(k; t; \lambda) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{- \lambda t} \end{equation*}$

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ポアソン過程の到着数～ポアソン分布

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