ポアソン過程について

概要

次のような条件で、客の到着、トランザクションやトラブルの発生といったランダム事象の発生を考える。

この場合、事象の発生は時間軸上で一様分布と考えられ、定常ポアソン過程／ポアソン到着と呼ばれる。

単位時間当たりの到着数が $\lambda$ で与えられたとき、観測時間 $t$ の間に $k$ 回の到着が観測される確率は、以下のPoisson分布で与えられる。

(1) $\begin{equation*} P_n (X = k; t; \lambda) = \frac{(\lambda t)^k}{k!} e^{- \lambda t} \end{equation*}$

この導出は”ポアソン過程の到着数～ポアソン分布“に示すが、その概略は、観測時間 $t$ を有限・等間隔の微小時間間隔 $\Delta t$ に分け、到着数が $k$ 回となる組み合わせの数を考慮しながら確率を計算し、 $\Delta t \to \infty$ の極限をとるという操作。

このとき、到着回数の平均と分散は以下のようになるが、その導出はPoisson分布の説明を参照。

(2) $\begin{equation*} E(k) = \lambda = {\rm const} \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} V(k) = \lambda = {\rm const} \end{equation*}$

単位時間当たりの到着数が $\lambda$ で与えられたとき、ある到着から次の到着までの時間間隔 $t$ は指数分布に従い、その確率密度 $f(t)$ と確率分布 $F(t \le T)$ は以下のように与えられる。

(4) $\begin{equation*} f(t) = \lambda e^{- \lambda t} \end{equation*}$

(5) $\begin{equation*} F(t \le T) = 1 - e^{- \lambda T} \end{equation*}$

この導出は”ポアソン過程の到着間隔～指数分布“に示すが、その概略は上のPoisson分布と同じく、観測時間 $t$ を微小時間間隔に分けて、その極限をとるという操作。

このとき、到着時間間隔の平均と分散は以下のようになるが、その導出は指数分布の説明を参照。

(6) $\begin{equation*} E(k) = \frac{1}{\lambda} \end{equation*}$

(7) $\begin{equation*} V(k) = \frac{1}{\lambda ^2} \end{equation*}$

このほか、それぞれの確率分布の形状や考察についても、Poisson分布の説明、指数分布の説明にまとめた。

”ポアソン過程～一様分布によるシミュレーション“で、一様分布に従う乱数を発生させて、その到着時間間隔／到着回数が指数分布／Poisson分布に従っているか確認した。