ベイズの定理の解釈

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ベイズの定理の変形

ベイズの定理は、一般に以下のように表現される。

(1)   \begin{equation*} P(T_k |C) = \frac{P(C|T_k)P(T_k)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(C|T_i)P(T_i)} \end{equation*}

またはTと\overline{T}の2事象の場合は、

(2)   \begin{equation*} P(T|C) = \frac{P(C|T)P(T)}{P(C|T)P(T) + P(C|\overline{T})P(\overline{T})} \end{equation*}

ここで次のように確率の記号を定義する。また、イメージを掴みやすくするために、難病検査の問題の場合を対比させる。

P_t = P(T)
ターゲットの事象が真である確率(true)あるいは事前確率。たとえば日本全体での難病の罹患率など。
P_c = P(T|C)
判定が真の条件下で事象が真である確率(under condition)あるいは事後確率。たとえば検査結果が陽性の場合に難病に罹患している確率。
P_h = P(C|T)
事象が真の場合に判定が真となる確率(hit)。たとえば難病に罹患している場合に検査結果が陽性となる確率。
P_f = P(C| \overline{T})
事象が偽なのに判定が正となる確率(fail)。たとえば難病に罹患していないのに検査結果が陽性となる確率。

P(\overline{T}) = 1 - P(T)であることに留意して、これらの記号でベイズの定理を表すと以下の通り。

(3)   \begin{equation*} P_c = \frac{P_h P_t}{P_h P_t + P_F (1 - P_t)} = \frac{1}{1 + \dfrac{P_f}{P_h} \left( \dfrac{1}{P_t} - 1 \right) } \end{equation*}

いくつかのケース

誤判定を絶対しない場合

(8)においてP_f = 0とおくと、P_t = 1となる。

難病の問題で言えば、「罹患していないときには必ず陰性判定となる(陽性とならない)」という検査に相当し、このような検査の結果が陽性判定なら必ず罹患していることになる。この時、罹患時に陽性となる確率P_hがいくらかは関係ない。

ただしこの逆は必ずしも保証されておらず、陰性判定でも罹患している場合がある。

完璧な検査

難病の問題で、上記に加えて「罹患しているときは必ず陽性判定となる(P_h = 1」という条件を加える。

まず、(2)をCの余事象について書くと以下の様になる。

(4)   \begin{eqnarray*} P(T|\overline{C}) &=& \frac{P(\overline{C}|T)P(T)}{P(\overline{C}|T)P(T) + P(\overline{C}|\overline{T})P(\overline{T})} \\ &=& \frac{(1 - P_h) P_t}{(1 - P_h) P_t + (1 - P_f)(1 - P_t)} \\ \end{eqnarray*}

ここで、P(\overline{T} | \overline{C}) = 1 - P(T| \overline{C})を考える。これは、陰性反応の時に難病にかかっていない確率に相当する。

(5)   \begin{eqnarray*} P(\overline{T} | \overline{C}) = 1 - P(T| \overline{C}) &=& 1 - \frac{(1 - P_h) P_t}{(1 - P_h) P_t + (1 - P_f)(1 - P_t)} \\ &=& \frac{(1 - P_f)(1 - P_t)}{(1 - P_h) P_t + (1 - P_f)(1 - P_t)} \end{eqnarray*}

(5)においてP_f = 0と置くと、

(6)   \begin{eqnarray*} P(\overline{T} | \overline{C}) = 1 - P(T| \overline{C}) = \frac{(1 - P_t)}{(1 - P_h) P_t + (1 - P_t)} \end{eqnarray*}

ここでP_h = 1の場合はP(\overline{T} | \overline{C}) = 1となる。

この結果を難病の問題で言えば、検査結果が陰性の場合は必ず罹患していない、ということになる。

以上をまとめると、検査の性質が「罹患していなければ必ず陰性、罹患していれば必ず陽性となる」という場合、検査結果が陽性なら必ず罹患しており、陰性なら罹患していないという、至極当然の結果となる。

意味のない検査

(8)においてP_h = P_fと置くと、P_c = P_tとなる。

難病の例で言えば、罹患している時に陽性となる確率と、罹患していないときに陽性となる誤判定率が同じ場合、検査の意味がない(一般的な罹患率でしか罹患の程度がわからない)ということになる。

正しい判定の率が高くても、誤判定率が同じ場合は意味をなさない。

意味のある検査

(8)をP_f / P_hについて解く。

(7)   \begin{equation*} \frac{P_f}{P_h} = \frac{\dfrac{1}{P_c} - 1}{\dfrac{1}{P_t}- 1} \end{equation*}

この式で、P_f < P_hのとき、P_c > P_tとなり、検査が意味を持つことがわかる。

稀な事象

事前確率P_tがとても小さい場合を考える。たとえば難病の罹患率が1万人や10万人に1人といった場合。

P_t \approx 0とすると(8)は以下のように変形できる。

(8)   \begin{eqnarray*} P_c &=& \frac{1}{1 + \dfrac{P_f}{P_h} \left( \dfrac{1}{P_t} - 1 \right) } = \frac{P_t}{P_t + \dfrac{P_F}{P_h} (1 - P_t)} \\ &=& \frac{\dfrac{P_h}{P_F} P_t}{1 + \left( \dfrac{P_h}{P_f} - 1 \right) P_t} \approx \frac{P_h}{P_F} P_t} \end{eqnarray*}

すなわち、事前確率が十分に小さい場合は、検査の正誤判定確率の倍率分だけ事後確率が大きくなる。

たとえば難病検査の問題の場合、P_h = 0.9 , \; P_f = 0.2として、P_tが小さくなるほど、事後確率は正誤判定確率の倍率0.9/0.2 = 4.5倍に近づく。

(9)   \begin{eqnarray*} P_t = 0.1 & \rightarrow & P_c = \frac{0.9 \times 0.1}{0.9 \times 0.1 + 0.2 \times 0.9} \approx 0.333 \\ P_t = 0.01 & \rightarrow & P_c = \frac{0.9 \times 0.01}{0.9 \times 0.01 + 0.2 \times 0.99} \approx 0.0435 \\ P_t = 0.001 & \rightarrow & P_c = \frac{0.9 \times 0.001}{0.9 \times 0.01 + 0.2 \times 0.999} \approx 0.00448 \\ P_t = 0.0001 & \rightarrow & P_c = \frac{0.9 \times 0.0001}{0.9 \times 0.01 + 0.2 \times 0.9999} \approx 0.000449 \end{eqnarray*}

 

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