条件付き確率～ベイズの定理

基本

条件付き確率～ベイズの定理（Baye’s theorem）はとっつきにくいが、記号の使い方や図で理解することでわかりやすくなる。

事象 $C$ が起こったときの事象 $T$ の条件付き確率は、以下で計算される。

(1) $\begin{equation*} P(T|C) = \frac{P(T \cap C)}{P(C)} \end{equation*}$

事象の記号にに $A$ や $B$ を使うのが一般的だが、私にはどちらが条件で、どちらを最終的に求めたいのかわかりにくいので、ここで $T$ :Target、 $C$ :Conditionの記号を使った

$P(C)$ は事前確率、 $P(T|C)$ は事後確率、 $P(T \cap C)$ は同時確率と呼ばれる。

ここで $P(T \cap C) = P(T|C)P(C) = P(C|T)P(T)$ から、以下のようにも表現される。

(2) $\begin{equation*} P(T|C) = \frac{P(C|T)P(T)}{P(C)} \end{equation*}$

より一般的には、事象 $T_i (i=1,2,\ldots ,n)$ は互いに排反で、 $C \subset T_1 \cup T_2 \ldots \cup T_n$ とするとき、

(3) $\begin{equation*} P(T_k |C) = \frac{P(C|T_k)P(T_k)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(C|T_i)P(T_i)} \end{equation*}$

たとえば $T_k$ が背反する2事象、すなわち $T, \overline{T}$ の場合は以下のようになる。

(4) $\begin{equation*} P(T|C) = \frac{P(C|T)P(T)}{P(C|T)P(T) + P(C|\overline{T})P(\overline{T})} \end{equation*}$

具体例として、癌などの難病の検査に関する問題が見られる。

また、ベイズの定理についてこちらでもう少し詳しい解釈をしている。