標準正規分布

標準正規分布の確率密度関数

平均\mu、分散\sigma^2の正規分布N(\mu, \sigma^2)の確率密度関数は以下の通り。

(1)    \begin{equation*} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \end{equation*}

ここで、確率変数を以下のように変換する。

(2)    \begin{equation*} Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \end{equation*}

これを式(1)に適用した場合の確率密度関数を考える。確率の定義から、

(3)    \begin{equation*} \Pr(X \leq t) = \int_{-\infty}^{t} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right) dx \end{equation*}

ここでz=\frac{x - \mu}{\sigma}と変換すると、dx = \sigma dzより次式のようになる。

(4)    \begin{eqnarray*} \Pr(X \leq t) &=& \int_{-\infty}^{t} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left( - \frac{z^2}{2} \right) \sigma dz \\ &=& \int_{-\infty}^{t} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{z^2}{2} \right) dz \end{eqnarray*}

これより、標準正規分布Z ~ N(0,1)の確率密度関数は以下のようになる。

(5)    \begin{equation*} f(x)= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \end{equation*}

標準正規分布の確率

典型的な値

標準正規分布のZに対する確率\Pr(Z \leq z)tに対する確率は標準正規分布表で与えられているが、以下の値は覚えておくとよい。

 

z \Pr(Z > z) \Pr(-z \leq Z \leq z)
0.67449 (0.67) 0.25 0.5
0.84162 0.2 0.6
1.03643 0.15 0.7
1.15035 (1.15) 0.125 0.75
1.28155 (1.28) 0.1 0.8
1.64485 (1.64) 0.05 0.9
1.95996 (1.96) 0.025 0.95
2.32635 (2.32) 0.01 0.98
2.57584 (2.58) 0.005 0.99

標準正規分布表

std_norm_dist_table

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