ベクトルの内積

ベクトルの内積の表現には、要素表示を用いたものと幾何的なものの2つがある。

${\bf a} \cdot {\bf b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = | {\bf a} | | {\bf b} | \cos \theta$

2つの表現が等価であることを証明するのに、下図のように2つのベクトルで張られた三角形の $\oberline{AB}$ の長さを考える。

math_vector_innerprod_1

まずベクトルの成分で計算した場合は、

$\begin{align*} \overline{AB}^2 &= (a_x - b_x)^2 + (a_y - b_y)^2 + (a_z - b_z)^2 \\ &= a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 - 2 a_x b_x - 2 a_y b_y - 2 a_z b_z \end{align}$

また余弦定理を用いて計算した場合は、 $a = | {\bf a} | , \: b = | {\bf b} |$ として以下のようになる。

$\begin{align*} \overline{AB}^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta \\ &= a_x^2 + a_y^2 + a_z^2 + b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 - 2ab \cos \theta \end{align}$

上記2つが等しいことから、以下が得られる。

$a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = ab \cos \theta$

2次元の場合は、z成分を0とおいてx成分とy成分のみについて考えればよい。

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