ヘッセの標準形～点と平面の距離

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2次元の場合

直線l、点Qの距離を考える。直線と各点の記号、座標を以下のように定義する。

(1)   \begin{equation*} l:ax + by + c = 0 \end{equation*}

Step-1：直線に直交するベクトル

まず、ベクトル(a, b)が直線lに直交することを示す。直線は以下のように媒介変数表示できて、ベクトル(u_x , u_y)は直線に平行なベクトル。

(2)   \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lll} x &=& u_x t + x_0 \\ y &=& u_y t+ y_0 \end{array} \right. \end{equation*}

これを直線の式に代入して、

(3)   \begin{gather*} a (u_x t + x_0) + b (u_y t + y_0) + c = 0 \\ (a u_x + b u_y) t + (a x_0 + b y_0 + c) = 0 \end{gather*}

ここで任意のtに対して上式が成り立つことから、a u_x + b u_y = 0となり、ベクトル(a, b)は直線に垂直であることが示された。

別解：点と直線の距離をパラメーター（媒介変数）によって愚直に求める方法

Step-2：法線ベクトルとの平行条件による導出

与えられた点Pから直線lへの垂線の足をHとすると、\overrightarrow{PH} \parallel (a, b)なので、以下が成り立つ。

(4)   \begin{equation*} \left| \overrightarrow{PH} \cdot (a, b) \right| = \left| \overrightarrow{PH} \right| \cdot | (a, b) | \end{equation*}

ここで(x_h, y_h)は直線l上にあることを考慮し、上式の左辺を以下のように変形できる。

(5)   \begin{equation*} \begin{array}{lll} \left| \overrightarrow{PH} \cdot (a, b) \right| &=& | (x_p - x_h ) a + (y_p - y_h) b | \\ &=& | a x_p + b y_p - (a x_h + b y_h) | \\ &=& | a x_p + b y_p + c | \end{equation*}

これより

(6)   \begin{equation*} \left| \overrightarrow{PH} \right| = \frac{\left| a x_p + b y_p + c \right|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{equation*}

3次元の場合

3次元平面の式

3次元空間内の平面は、たとえば以下のように表すことができる。

(7)   \begin{equation*} \pi : w_x x + w_y y + w_z z + w_0 = 0 \end{equation*}

一方、3次元平面上の点と法線ベクトル{\boldsymbol n} = (x_x, n_y, n_z)との直行条件から、以下のようにも表現できる。

(8)   \begin{gather*} {\boldsymbol n} ({\boldsymbol x} - {\boldsymbol x_0} ) = 0 \\ (n_x, n_y, n_z) \cdot (x - x_0, y - y_0, z - z_0) = 0 \\ n_x x + n_y y + n_z z + (-n_x x_0 -n_y y_0 -n_z z_0) = 0 \end{gather*}

上記2つの式より、ベクトル{\boldsymbol w} = (w_x, w_y, w_z)は平面に対する法線ベクトルであることがわかる。

法線ベクトルとの平行条件

この法線ベクトルがベクトル\left| \overrightarrow{PH} \right|と平行であることから、

(9)   \begin{equation*} \left| \overrightarrow{PH} \cdot {\boldsymbol w} \right| = \left| \overrightarrow{PH} \right| \cdot \left| {\boldsymbol w} \right| \end{equation*}

上式の左辺は以下のように変形できる。

(10)   \begin{equation*} \begin{array}{lll} \left| \overrightarrow{PH} \cdot {\boldsymbol w} \right| &=& \left| (x_p - x_h, y_p - y_h, z_p - z_h) \cdot (w_x, w_y, w_z) \right| \\ &=& \left| w_x x_p + w_y y_p + w_z z_p - (w_x x_h +w_y y_h + w_z z_h) \right| \\ &=& \left| w_x x_p + w_y y_p + w_z z_p + w_0 \right| \end{array} \end{equation*}

以上のことから、点{\boldsymbol x}_pから三次元平面\piへの距離については、以下で表される。

(11)   \begin{equation*} \left| \overrightarrow{PH} \right| = \frac{\left| w_x x_p + w_y y_p + w_z z_p + w_0 \right|}{| {\boldsymbol w} |} \end{equation*}

多次元の場合

n次元の超平面を以下の式で与える。

(12)   } \begin{equation*} {\boldsymbol w} \cdot {\boldsymbol x} + w_0 = 0 \; \Leftrightarrow \; w_0 + w_1 x_1 + \cdots + w_n x_n = 0 \end{equation*}

このとき、これまでと同様の考え方により、点{\boldsymbol x}_p (x_{p1}, \ldots , x_{pn})と上記の超平面との距離は以下で表される。

(13)   \begin{equation*} \left| \overrightarrow{PH} \right| = \frac{ {\boldsymbol w} \cdot {\boldsymbol x} + w_0 }{ \| {\boldsymbol w} \|} \end{equation*}

 

 

2件のコメント

  1. 一番最後の計算はどのようにして行われているのでしょうか

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    1. ありがとうございます。
      n次元でも理屈は同じと考えて、式(10)～(11)で単純に3成分をn成分としました。
      数学的に「距離」を定義したりして導く方法もあるかと思います。

      返信

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