numpy – 配列操作 – 抽出

2019-09-10 / tau / コメントする

概要

配列の要素や行・列の抽出などに関する操作。

準備として、以下の1次元、2次元配列を考える。

a1 = np.array([0, 1, 2, 3])
a2 = np.array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])

print(a1)
print(a2)[0 1 2 3]

# [0 1 2 3]
# [[0 1 2]
#  [3 4 5]
#  [6 7 8]]

a1 = np.array([0, 1, 2, 3])

a2 = np.array([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])

print(a1)

print(a2)[0 1 2 3]

# [0 1 2 3]

# [[0 1 2]

# [3 4 5]

# [6 7 8]]

要素の参照

1次元配列の要素の参照は、リストと同じ。

print(a1[0])
print(a1[-1])
print(a1[-2])

# 0
# 3
# 2

print(a1[0])

print(a1[-1])

print(a1[-2])

# 0

# 3

# 2

2次元配列の要素は、[行, 列]で指定。行・列の値の考え方は1次元配列の要素と同じ。

print(a2[1, 2])
print(a2[-1, -2])

# 5
# 7

print(a2[1, 2])

print(a2[-1, -2])

# 5

# 7

行・列の参照

単一の行・列の参照

2次元配列の行の参照は、行番号を指定。

print(a2[0])

# [0 1 2]

print(a2[0])

# [0 1 2]

2次元配列の列の参照はややこしくて、[:,列番号]で指定。1つ目の:は行番号のプレースホルダーみたいなものか。

ただし、列を取り出した結果でも、1次元の配列になる。

print(a2[:,0])

# [0 3 6]

print(a2[:,0])

# [0 3 6]

直接列ベクトルで取り出したい場合は、[:,列番号:列番号+1]で可能。

print(a2[:,2:3])

# [[2]
#  [5]
#  [8]]

print(a2[:,2:3])

# [[2]

# [5]

# [8]]

なお、1次元の配列にndarray.Tを作用させても、1次元配列のままで列ベクトルにはならない。

範囲を指定した行・列の参照

行の範囲を指定して、複数行の行列を返す。

print(a2[1:3])

# [0 3 6]

print(a2[1:3])

# [0 3 6]

列の範囲を指定する場合。

print(a2[:,1:3])

# [[1 2]
#  [4 5]
#  [7 8]]

print(a2[:,1:3])

# [[1 2]

# [4 5]

# [7 8]]

複数の行・列を指定した参照

連続しない複数の行を取り出した行列をつくるには、[行番号, 行番号, …]とする。

print(a2[[0,2,0,2]])

# [[0 1 2]
#  [6 7 8]
#  [0 1 2]
#  [6 7 8]]

print(a2[[0,2,0,2]])

# [[0 1 2]

# [6 7 8]

# [0 1 2]

# [6 7 8]]

複数列を取り出す場合。

print(a2[:,[0,2,0,2]])

# [[0 2 0 2]
#  [3 5 3 5]
#  [6 8 6 8]]

print(a2[:,[0,2,0,2]])

# [[0 2 0 2]

# [3 5 3 5]

# [6 8 6 8]]

参照であることの注意

以上の操作で取り出された配列は、元の配列への参照を保っているため、その要素を変更すると元の配列の要素も変更される。

r = a2[0]
c = a2[:,2]
print(r)
print(c)
r[0] = -1
c[2] = -2
print(r)
print(c)
print(a2)

# 取り出された行・列
# [0 1 2]
# [2 5 8]
# 変更された行・列
# [-1  1  2]
# [ 2  5 -2]
# 元の配列にも影響
# [[-1  1  2]
#  [ 3  4  5]
#  [ 6  7 -2]]

r = a2[0]

c = a2[:,2]

print(r)

print(c)

r[0] = -1

c[2] = -2

print(r)

print(c)

print(a2)

# 取り出された行・列

# [0 1 2]

# [2 5 8]

# 変更された行・列

# [-1 1 2]

# [ 2 5 -2]

# 元の配列にも影響

# [[-1 1 2]

# [ 3 4 5]

# [ 6 7 -2]]

元の配列に影響させたくない場合は、copy.copy()、copy.deepcopy()、np.copy()でオブジェクトをコピーする必要がある。

対角要素の取り出し

np.diag()で、2次元配列の対角要素を取り出した1次元配列が得られる。

ただし、その結果は書き込みできない。

d = np.diag(a2)
print(d)  # [0 4 8]
d[0] = -1 # ValueError: assignment destination is read-only

d = np.diag(a2)

print(d) # [0 4 8]

d[0] = -1 # ValueError: assignment destination is read-only

条件を指定した取り出し

配列に条件式を適用して、各要素が要件に合致していればTrue、合致していなければFalseを要素とする配列を返す。

print(a2%2 == 0)

# [[ True False  True]
#  [False  True False]
#  [ True False  True]]

print(a2%2 == 0)

# [[ True False True]

# [False True False]

# [ True False True]]

上で得られた配列を要素とすることで、条件に合致した要素のみを取り出した1次元配列を得る。

print(a2[a2%2 == 0])

# [0 2 4 6 8]

print(a2[a2%2 == 0])

# [0 2 4 6 8]

Python3 – numpyのインストール

2019-09-10 / tau / コメントする

numpyのインストールは、コマンドラインからpipで。numpyのインストール後にpipのアップグレードを推奨されたので、これも実行。

C:\Users\tomo>pip install numpy
Collecting numpy
  Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/c3/13/a991b874825a195aefb9cf53a1a632099622237d8701dbd4a18804fa5144/numpy-1.17.1-cp37-cp37m-win32.whl (10.8MB)
    100% |████████████████████████████████| 10.8MB 1.8MB/s
Installing collected packages: numpy
Successfully installed numpy-1.17.1
You are using pip version 19.0.3, however version 19.2.3 is available.
You should consider upgrading via the 'python -m pip install --upgrade pip' command.

C:\Users\tomo>python -m pip install --upgrade pip
Collecting pip
  Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/30/db/9e38760b32e3e7f40cce46dd5fb107b8c73840df38f0046d8e6514e675a1/pip-19.2.3-py2.py3-none-any.whl (1.4MB)
    100% |████████████████████████████████| 1.4MB 1.3MB/s
Installing collected packages: pip
  Found existing installation: pip 19.0.3
    Uninstalling pip-19.0.3:
      Successfully uninstalled pip-19.0.3
Successfully installed pip-19.2.3

C:\Users\tomo>pip install numpy

Collecting numpy

Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/c3/13/a991b874825a195aefb9cf53a1a632099622237d8701dbd4a18804fa5144/numpy-1.17.1-cp37-cp37m-win32.whl (10.8MB)

100% |████████████████████████████████| 10.8MB 1.8MB/s

Installing collected packages: numpy

Successfully installed numpy-1.17.1

You are using pip version 19.0.3, however version 19.2.3 is available.

You should consider upgrading via the 'python -m pip install --upgrade pip' command.

C:\Users\tomo>python -m pip install --upgrade pip

Collecting pip

Downloading https://files.pythonhosted.org/packages/30/db/9e38760b32e3e7f40cce46dd5fb107b8c73840df38f0046d8e6514e675a1/pip-19.2.3-py2.py3-none-any.whl (1.4MB)

100% |████████████████████████████████| 1.4MB 1.3MB/s

Installing collected packages: pip

Found existing installation: pip 19.0.3

Uninstalling pip-19.0.3:

Successfully uninstalled pip-19.0.3

Successfully installed pip-19.2.3

Python3 – random/乱数

2019-08-18 / tau / コメントする

概要

randomモジュールには、疑似乱数を発生させる関数や、コレクションからランダムな要素を選んだり、コレクションをシャッフルしてくれる関数が用意されている。

なお、numpy.randomモジュールにも便利な乱数生成関数が準備されている。

乱数系列/seed()

random.seed()関数は、引数を指定して乱数系列を固定する。

import random

random.seed(0)

for n in range(5):
    print(random.random())

# 0.8444218515250481
# 0.7579544029403025
# 0.420571580830845
# 0.25891675029296335
# 0.5112747213686085
# 何度繰り返しても同じ値になる

import random

random.seed(0)

for n in range(5):

print(random.random())

# 0.8444218515250481

# 0.7579544029403025

# 0.420571580830845

# 0.25891675029296335

# 0.5112747213686085

# 何度繰り返しても同じ値になる

疑似乱数/random()

random()関数は、0≤r<1の範囲の一様乱数を浮動小数点で返す。

import random

for n in range(0, 5):
    print(random.random())

# 0.18356662737924279
# 0.2535975770454991
# 0.07112643912586292
# 0.9296944359969844
# 0.16323733244990823

import random

for n in range(0, 5):

print(random.random())

# 0.18356662737924279

# 0.2535975770454991

# 0.07112643912586292

# 0.9296944359969844

# 0.16323733244990823

一様乱数/uniform()

uniform(a, b)は、a≤r<bの範囲の一様乱数を浮動小数点で返す。

import random

for n in range(0, 5):
    print(random.uniform(1, 5))

# 3.6379958781920916
# 3.380738588720399
# 1.2535708428173264
# 4.802360086175415
# 2.7348909239420416

import random

for n in range(0, 5):

print(random.uniform(1, 5))

# 3.6379958781920916

# 3.380738588720399

# 1.2535708428173264

# 4.802360086175415

# 2.7348909239420416

整数乱数/randint(), randrange()

randint(a, b)はa≤r≤bの範囲の乱数を整数で返す。第2引数のbも生成されることに注意。

randrange(start, end, step)はstart≤r<stopの範囲でstep間隔の乱数を整数で返す。第2引数のstopは生成されないことに注意。stepを省略した場合は1となる。

import random

for n in range(20):
    print(random.randint(0, 2), end=" ")

for n in range(20):
    print(random.randrange(0, 6, 2), end=" ")

# 0 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 2 1 2 1
# 2 2 4 4 2 0 4 0 2 4 2 2 2 0 4 2 4 4 2 0

import random

for n in range(20):

print(random.randint(0, 2), end=" ")

for n in range(20):

print(random.randrange(0, 6, 2), end=" ")

# 0 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 2 1 2 1

# 2 2 4 4 2 0 4 0 2 4 2 2 2 0 4 2 4 4 2 0

ランダム選択/choise()

choise(c)はコレクションcからランダムな要素を一つ選んで返す。

import random

cities = ['Yokohama', 'Osaka', 'Nagoya','Sapporo', 'Fukuoka', 'Kobe']
for n in range(0, 5):
    print(random.choice(cities))

# Kobe
# Nagoya
# Yokohama
# Sapporo
# Yokohama

import random

cities = ['Yokohama', 'Osaka', 'Nagoya','Sapporo', 'Fukuoka', 'Kobe']

for n in range(0, 5):

print(random.choice(cities))

# Kobe

# Nagoya

# Yokohama

# Sapporo

# Yokohama

引数に文字列を指定すると、その中から任意の位置の文字を一つ返す。

import random

a_string = 'ABCDEFG'
for n in range(0, 5):
    print(random.choice(a_string))

# D
# C
# E
# D
# B

import random

a_string = 'ABCDEFG'

for n in range(0, 5):

print(random.choice(a_string))

# D

# C

# E

# D

# B

シャッフル/shuffle()

shuffle(c)はコレクションの内容をシャッフルする。イミュータブルな文字列を指定するとTypeErrorになる。

import random

cities = ['Yokohama', 'Osaka', 'Nagoya','Sapporo', 'Fukuoka', 'Kobe']
random.shuffle(cities)
print(cities)

# ['Nagoya', 'Kobe', 'Fukuoka', 'Osaka', 'Yokohama', 'Sapporo']

import random

cities = ['Yokohama', 'Osaka', 'Nagoya','Sapporo', 'Fukuoka', 'Kobe']

random.shuffle(cities)

print(cities)

# ['Nagoya', 'Kobe', 'Fukuoka', 'Osaka', 'Yokohama', 'Sapporo']

Python3 – オブジェクトへの参照

2019-08-18 / tau / コメントする

概要

Pythonで関数の受け渡しが参照渡しとされているが、改めて変数とオブジェクトの関係を含めて確認してみた。

オブジェクトの参照に関する基本的な考え方は

論理値や数値も含めて全てオブジェクト
変数にはインスタンスのアドレスが格納され、参照される
数値や文字列などイミュータブルなオブジェクトの場合、リテラルの表現が同じものは共通の1つのインスタンスとなる
リストなどミュータブルなオブジェクトは、インスタンスの内容が変更されても参照先は変わらない(逆に言えば、参照先が変わらないのに内容が変更されている可能性がある)

関数の引数の受け渡しは

仮引数は、関数が呼び出し時には元のオブジェクトへの参照を指しているが、イミュータブルオブジェクトが変更された場合は参照先が変わり、呼び出し元の引数に影響を与えない
引数の参照先がミュータブルオブジェクトの場合、インスタンスの内容が変更されても参照先は変わらず、呼び出し元の内容も変更される

変数からオブジェクトへの参照

数値の場合

下記のコードをまず確認する。

a = 1
b = a
c = b

print('a={}, b={}, c={}'.format(a, b, c))
print('$a={}, $b={}, $c={}'.format(id(a), id(b), id(c)))

# a=1, b=1, c=1
# $a=1943168176, $b=1943168176, $c=1943168176
# 3つの変数の値は等しく、参照番地は同じ

a = 1

b = a

c = b

print('a={}, b={}, c={}'.format(a, b, c))

print('$a={}, $b={}, $c={}'.format(id(a), id(b), id(c)))

# a=1, b=1, c=1

# $a=1943168176, $b=1943168176, $c=1943168176

# 3つの変数の値は等しく、参照番地は同じ

ある数値を変数に代入すると、その変数には数値（オブジェクト）のアドレスがセットされる。その変数の内容（アドレス）を別の変数に代入すると、新しい変数も同じアドレスをさすようになる。

次に、同じ数値を指している変数の一つに別の数値を代入すると、その変数は新しい数値オブジェクトのアドレスを指すようになる。

b = 2

# a=1, b=2, c=1
# $a=1943168176, $b=1943168192, $c=1943168176
# bに新しい値をセットすると、参照番地も変わる
# a, cの値、参照番地は変化しない

b = 2

# a=1, b=2, c=1

# $a=1943168176, $b=1943168192, $c=1943168176

# bに新しい値をセットすると、参照番地も変わる

# a, cの値、参照番地は変化しない

以下のように、同じ値の数値は1つのオブジェクトのアドレスが共有される。

c = 2

# a=1, b=2, c=2
# $a=1943168176, $b=1943168192, $c=1943168192
# cにbと同じ値をセットすると、値・参照番地とも同じになる

c = 2

# a=1, b=2, c=2

# $a=1943168176, $b=1943168192, $c=1943168192

# cにbと同じ値をセットすると、値・参照番地とも同じになる

数値計算の場合も、結果が同じ値なら1のオブジェクトが共有される。

a = 3 * 4
b = 2 * 6

# a=12, b=12
# $a=1943168352, $b=1943168352
a# 計算過程に関わらず、計算結果が同じなら同じ番地を参照

a = 3 * 4

b = 2 * 6

# a=12, b=12

# $a=1943168352, $b=1943168352

a# 計算過程に関わらず、計算結果が同じなら同じ番地を参照

変数が絡む演算でも、結果が同じ値なら同じアドレスを指す。

x = 3
a = x * 4
b = 2 * 2 * x

# a=12, b=12
# $a=1943168352, $b=1943168352
# 変数が絡む場合でも計算結果が同じならオブジェクトも同じ

x = 3

a = x * 4

b = 2 * 2 * x

# a=12, b=12

# $a=1943168352, $b=1943168352

# 変数が絡む場合でも計算結果が同じならオブジェクトも同じ

浮動小数点の場合、精度上少しでも異なる値は違うオブジェクトになる。

a = 1.0 / 3
b = 10 / 3 - 3

# a=0.3333333333333333, b=0.3333333333333335
# $a=62840080, $b=62839984
# 浮動小数点の場合、必ずしも予想した同じ値とならない場合がある

a = 1.0 / 3

b = 10 / 3 - 3

# a=0.3333333333333333, b=0.3333333333333335

# $a=62840080, $b=62839984

# 浮動小数点の場合、必ずしも予想した同じ値とならない場合がある

文字列の場合

数値の場合と同じで、変数は文字列オブジェクトのアドレスを指す。

a = 'AA'
b = a

# a=AA, b=AA
# $a=67099680, $b=67099680
# 同じ文字列オブジェクトを参照

a = 'AA'

b = a

# a=AA, b=AA

# $a=67099680, $b=67099680

# 同じ文字列オブジェクトを参照

異なる内容の文字列は、異なるオブジェクトとなる。

b = 'AB'

# a=AA, b=AB
# $a=67099680, $b=67099776
# 新たな文字列は新たなオブジェクトとして生成され参照される

b = 'AB'

# a=AA, b=AB

# $a=67099680, $b=67099776

# 新たな文字列は新たなオブジェクトとして生成され参照される

同じ内容の文字列リテラルは、異なる位置で用いられても1つのオブジェクトとして共有される。

a = 'AB'

# a=AB, b=AB
# $a=67099776, $b=67099776
# 同じ内容の文字リテラルは同じオブジェクトとして参照される

a = 'AB'

# a=AB, b=AB

# $a=67099776, $b=67099776

# 同じ内容の文字リテラルは同じオブジェクトとして参照される

面白いことに、文字列リテラル同士の演算結果が同じなら、これも同じオブジェクトとして共有される。

b = 'A' + 'B'

# a=AB, b=AB
# $a=67099776, $b=67099776
# 文字列リテラルの演算結果が同じ内容なら同一のオブジェクト

b = 'A' + 'B'

# a=AB, b=AB

# $a=67099776, $b=67099776

# 文字列リテラルの演算結果が同じ内容なら同一のオブジェクト

同じオブジェクトを指していても、一方に演算を施すと新たなオブジェクトが生成されるため、異なるオブジェクトを指すようになる。

a += 'C'

# a=ABC, b=AB
# $a=67172064, $b=67099776
# 文字列に変更があると新たな別のオブジェクトになる

a += 'C'

# a=ABC, b=AB

# $a=67172064, $b=67099776

# 文字列に変更があると新たな別のオブジェクトになる

なお、リテラル同士の演算で結果が同じ場合はオブジェクトが共有されたが、変数が絡む場合は、内容が同じであっても異なるオブジェクトとなる。

x = 'A'
a = x + 'B'
b = x + 'B'

# a=AB, b=AB
# $a=67172608, $b=67172064
# 結果が同じでもリテラルのみでない演算の場合は異なるオブジェクト

x = 'A'

a = x + 'B'

b = x + 'B'

# a=AB, b=AB

# $a=67172608, $b=67172064

# 結果が同じでもリテラルのみでない演算の場合は異なるオブジェクト

リストの場合

リストの場合もオブジェクトへの参照が変数に保存される。

a = [0, 1, 2]
b = a

# a=[0, 1, 2], b=[0, 1, 2]
# $a=66799096, $b=66799096
# 同じリストを参照

a = [0, 1, 2]

b = a

# a=[0, 1, 2], b=[0, 1, 2]

# $a=66799096, $b=66799096

# 同じリストを参照

リストの要素を変更した場合、そのリストを指している全ての変数に変更結果が反映される。

a[0] = 1

# a=[1, 1, 2], b=[1, 1, 2]
# $a=66799096, $b=66799096
# 同じリストを参照しているので変更結果も参照先に反映

a[0] = 1

# a=[1, 1, 2], b=[1, 1, 2]

# $a=66799096, $b=66799096

# 同じリストを参照しているので変更結果も参照先に反映

注意点。リストの場合、リテラルが同じでも異なるオブジェクトが生成される。

a = [0, 1, 2]
b = [0, 1, 2]

# a=[0, 1, 2], b=[0, 1, 2]
# $a=67159624, $b=67158704
# リストの場合、同じリテラル表現でも異なるオブジェクトになる

a = [0, 1, 2]

b = [0, 1, 2]

# a=[0, 1, 2], b=[0, 1, 2]

# $a=67159624, $b=67158704

# リストの場合、同じリテラル表現でも異なるオブジェクトになる

オブジェクトが異なるため、片方の変更は他方に反映されない。

a[0] = 1

# a=[1, 1, 2], b=[0, 1, 2]
# $a=67159624, $b=67158704
# リストの内容を変化させても参照番地は変わらない
# 異なるオブジェクトのため、変更は波及しない

a[0] = 1

# a=[1, 1, 2], b=[0, 1, 2]

# $a=67159624, $b=67158704

# リストの内容を変化させても参照番地は変わらない

# 異なるオブジェクトのため、変更は波及しない

関数の引数の参照

数値の場合

関数の引数に数値を渡す場合の流れは以下の通り。

仮引数は引数と同じオブジェクトを指す
関数内で引数が変更されると、新たなオブジェクトを指すようになる
その結果、仮引数に渡した変数は変更されない

def func_num(arg):
    print('arg_before={}, id={}'.format(arg, id(arg)))
    arg +=1
    print('arg_after={}, id={}'.format(arg, id(arg)))
    return arg

var = 1
print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))
result = func_num(var)

print('result={}, id={}'.format(result, id(result)))
print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

# variable=1, id=1943037104
# arg_before=1, id=1943037104
# arg_after=2, id=1943037120
# result=2, id=1943037120
# variable=1, id=1943037104
# 引数は、数値への参照で渡される
# 関数内で異なる値にセットされると引数の参照番地が変わる
# しかし、その結果は呼び出し元の実引数に影響しない

def func_num(arg):

print('arg_before={}, id={}'.format(arg, id(arg)))

arg +=1

print('arg_after={}, id={}'.format(arg, id(arg)))

return arg

var = 1

print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

result = func_num(var)

print('result={}, id={}'.format(result, id(result)))

print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

# variable=1, id=1943037104

# arg_before=1, id=1943037104

# arg_after=2, id=1943037120

# result=2, id=1943037120

# variable=1, id=1943037104

# 引数は、数値への参照で渡される

# 関数内で異なる値にセットされると引数の参照番地が変わる

# しかし、その結果は呼び出し元の実引数に影響しない

文字列の場合

文字列の場合も、関数内での変更は呼び出し元に影響を与えない。

def func_str(arg):
    print('arg_before={}, id={}'.format(arg, id(arg)))
    arg += 'X'
    print('arg_after={}, id={}'.format(arg, id(arg)))
    return arg

var = 'ABC'
print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))
result = func_str(var)

print('result={}, id={}'.format(result, id(result)))
print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

# variable=ABC, id=72144960
# arg_before=ABC, id=72144960
# arg_after=ABCX, id=72220064
# result=ABCX, id=72220064
# variable=ABC, id=72144960
# 数値の場合と同じで、引数は参照渡しだが呼び出し元の変数は変更されない

def func_str(arg):

print('arg_before={}, id={}'.format(arg, id(arg)))

arg += 'X'

print('arg_after={}, id={}'.format(arg, id(arg)))

return arg

var = 'ABC'

print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

result = func_str(var)

print('result={}, id={}'.format(result, id(result)))

print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

# variable=ABC, id=72144960

# arg_before=ABC, id=72144960

# arg_after=ABCX, id=72220064

# result=ABCX, id=72220064

# variable=ABC, id=72144960

# 数値の場合と同じで、引数は参照渡しだが呼び出し元の変数は変更されない

リストの場合

リストを引数に渡した場合、関数内での変更が呼び出し元にも影響を与える。リストのようなミュータブルオブジェクトの場合、それに対する変更は元のインスタンスに対する変更であり、イミュータブルなオブジェクトのように新しいインスタンスが生成されるわけではないため。

元のインスタンスに影響を波及させたくない場合はコピー、ディープコピーを使う。

def func_list(arg):
    print('arg_before={}, id={}'.format(arg, id(arg)))
    arg.append(0)
    print('arg_after={}, id={}'.format(arg, id(arg)))
    return arg
var = [3, 2, 1]
print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))
result = func_list(var)

print('result={}, id={}'.format(result, id(result)))
print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

# variable=[3, 2, 1], id=71845368
# arg_before=[3, 2, 1], id=71845368
# arg_after=[3, 2, 1, 0], id=71845368
# result=[3, 2, 1, 0], id=71845368
# variable=[3, 2, 1, 0], id=71845368
# リストの場合は内容が変化しても参照は変更されないので
# 呼び出し元の変数が影響を受ける

def func_list(arg):

print('arg_before={}, id={}'.format(arg, id(arg)))

arg.append(0)

print('arg_after={}, id={}'.format(arg, id(arg)))

return arg

var = [3, 2, 1]

print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

result = func_list(var)

print('result={}, id={}'.format(result, id(result)))

print('variable={}, id={}'.format(var, id(var)))

# variable=[3, 2, 1], id=71845368

# arg_before=[3, 2, 1], id=71845368

# arg_after=[3, 2, 1, 0], id=71845368

# result=[3, 2, 1, 0], id=71845368

# variable=[3, 2, 1, 0], id=71845368

# リストの場合は内容が変化しても参照は変更されないので

# 呼び出し元の変数が影響を受ける

Python3 – キーワードと予約語

2019-08-17 / tau / コメントする

キーワード

>>> import keyword
>>> for s in keyword.kwlist: print(s)
...
False
None
True
and
as
.....
with
yield

>>> import keyword

>>> for s in keyword.kwlist: print(s)

...

False

None

True

and

.....

with

yield

キーワードの一覧は以下の通り。

False, None, True, and, as, assert, async, await, break, class, continue, def, del, elif, else, except, finally, for, from, global, if, import, in, is, lambda, nonlocal, not, or, pass, raise, return, try, while, with, yield

組み込み関数

>>> for s in dir(__builtins__): print(s)
...
ArithmeticError
AssertionError
......
_
__build_class__
__debug__
.....
abs
all
.....
vars
zip

>>> for s in dir(__builtins__): print(s)

...

ArithmeticError

AssertionError

......

__build_class__

__debug__

.....

abs

all

.....

vars

zip

このうちabs以降の一覧は以下の通り。

abs, all, any, ascii, bin, bool, breakpoint, bytearray, bytes, callable, chr, classmethod, compile, complex, copyright, credits, delattr, dict, dir, divmod, enumerate, eval, exec, exit, filter, float, format, frozenset, getattr, globals, hasattr, hash, help, hex, id, input, int, isinstance, issubclass, iter, len, license, list, locals, map, max, memoryview, min, next, object, oct, open, ord, pow, print, property, quit, range, repr, reversed, round, set, setattr, slice, sorted, staticmethod, str, sum, super, tuple, type, vars, zip

Python3 – 文字を順に取り出す

2019-08-11 / tau / コメントする

数字やアルファベットの文字を順に取り出して使いたい時、stringモジュールを使うと便利。

import string

print(string.digits)
print(string.octdigits)
print(string.hexdigits)
print(string.ascii_uppercase)
print(string.ascii_lowercase)
print(string.ascii_letters)
print(string.punctuation)

# 0123456789
# 01234567
# 0123456789abcdefABCDEF
# ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
# abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
# abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
# !"#$%&'()*+,-./:;<=>?@[\]^_`{|}~

import string

print(string.digits)

print(string.octdigits)

print(string.hexdigits)

print(string.ascii_uppercase)

print(string.ascii_lowercase)

print(string.ascii_letters)

print(string.punctuation)

# 0123456789

# 01234567

# 0123456789abcdefABCDEF

# ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

# abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

# abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

# !"#$%&'()*+,-./:;<=>?@[\]^_`{|}~

Python3 – 数値と文字列の相互変換

2019-07-28 / tau / コメントする

数値から文字列への変換

10進数(str関数)

str関数で引数の数値を文字列化。

整数の場合、桁数が多くてもそのまま文字列化される。

>>> str(1234)
'1234'
>>> str(12345678901234567890)
'12345678901234567890'

>>> str(1234)

'1234'

>>> str(12345678901234567890)

'12345678901234567890'

実数の場合は有効数値で丸められる。

>>> str(123.45678901234567890)
'123.45678901234568'

1 2	>>> str(123.45678901234567890) '123.45678901234568'

浮動小数点で与えると、桁数が収まる範囲で固定少数表示の文字列になる。

>>> str(1e3)
'1000.0'
>>> str(1e15)
'1000000000000000.0'
>>> str(1e16)
'1e+16'

>>> str(1e3)

'1000.0'

>>> str(1e15)

'1000000000000000.0'

>>> str(1e16)

'1e+16'

2進数、8進数、16進数

組み込み関数を使う方法

bin、oct、hex関数を使った場合、プレフィックス’0b’、’0o’、’0x’がついた文字列になる。

>>> bin(31)
'0b11111'
>>> oct(4095)
'0o7777'
>>> hex(65535)
'0xffff'

>>> bin(31)

'0b11111'

>>> oct(4095)

'0o7777'

>>> hex(65535)

'0xffff'

format関数を使う方法

format関数の第2引数に基数に対応した文字を指定する。

>>> format(255, 'b')
'11111111'
>>> format(255, 'o')
'377'
>>> format(255, 'x')
'ff'
>>> format(255, 'X')
'FF'

>>> format(255, 'b')

'11111111'

>>> format(255, 'o')

'377'

>>> format(255, 'x')

'ff'

>>> format(255, 'X')

'FF'

第2引数で、桁数を指定して空いた上位桁を0で埋めることができる。

>>> format(15, '08b')
'00001111'
>>> format(15, '04o')
'0017'
>>> format(15, '02x')
'0f'

>>> format(15, '08b')

'00001111'

>>> format(15, '04o')

'0017'

>>> format(15, '02x')

'0f'

書式文字列を使う方法

書式文字列と％演算子を使っても、数値を文字列化できるが、2進数には対応していない。

>>> '%#o' % 255, '%o' % 255
('0o377', '377')
>>> '%#x' % 255, '%x' % 255
('0xff', 'ff')
>>> '%#X' % 255, '%X' % 255
('0XFF', 'FF')

>>> '%#o' % 255, '%o' % 255

('0o377', '377')

>>> '%#x' % 255, '%x' % 255

('0xff', 'ff')

>>> '%#X' % 255, '%X' % 255

('0XFF', 'FF')

文字列から数値への変換

10進数

整数(int関数)

int関数は整数の文字列を数値化するが、実数形式の文字列を与えるとエラーになる。

>>> int('1234')
1234
>>> int('1.')
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: invalid literal for int() with base 10: '1.'

>>> int('1234')

1234

>>> int('1.')

Traceback (most recent call last):

File "<stdin>", line 1, in <module>

ValueError: invalid literal for int() with base 10: '1.'

実数(float関数)

float関数は実数の文字列を数値化する。固定小数点/浮動小数点のどちらの表現でもかまわない。

>>> float('1234')
1234.0
>>> float('1.234')
1.234
>>> float('1e15')
1000000000000000.0
>>> float('1e16')
1e+16

>>> float('1234')

1234.0

>>> float('1.234')

1.234

>>> float('1e15')

1000000000000000.0

>>> float('1e16')

1e+16

2進数、8進数、16進数

int関数の第2引数で基数を指定する。

>>> int('1111', 2)
15
>>> int('7777', 8)
4095
>>> int('FFFF', 16)
65535

>>> int('1111', 2)

>>> int('7777', 8)

4095

>>> int('FFFF', 16)

65535

第2引数には2～36まで指定可能で、0～9とA～Zまで使った36進法まで変換可能。

>>> int('1000', 1)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
ValueError: int() base must be >= 2 and <= 36
>>> int('1000', 3)
27
>>> int('GGGG', 17)
83520
>>> int('ZZZZ', 36)
1679615

>>> int('1000', 1)

Traceback (most recent call last):

File "<stdin>", line 1, in <module>

ValueError: int() base must be >= 2 and <= 36

>>> int('1000', 3)

>>> int('GGGG', 17)

83520

>>> int('ZZZZ', 36)

1679615

‘0b’、’0o’、’0x’のプレフィックスを付けた文字列を変換するときは、第2引数を0にする。この場合、10進数も変換可能。

>>> int('0x1111', 0)
4369
>>> int('0x7777', 0)
30583
>>> int('0xFFFF', 0)
65535
>>> int('9999', 0)
9999

>>> int('0x1111', 0)

4369

>>> int('0x7777', 0)

30583

>>> int('0xFFFF', 0)

65535

>>> int('9999', 0)

9999

Python3 – 数値

2019-07-27 / tau / コメントする

int型

整数型はintで表される。

>>> print(type(1), 1)
<class 'int'> 1

1 2	>>> print(type(1), 1) <class 'int'> 1

桁数が多くなってもint型として扱われる。

>>> print(type(1000000000000000000000000000000), 1000000000000000000000000000000)
<class 'int'> 1000000000000000000000000000000

1 2	>>> print(type(1000000000000000000000000000000), 1000000000000000000000000000000) <class 'int'> 1000000000000000000000000000000

int型のチェック

>>> print(type(1)==int)
True

1 2	>>> print(type(1)==int) True

float型

数値リテラルに小数点を付けるとfloat型として扱われる。float型はCやFORTRANの倍精度の精度。

>>> print(type(1.), 1.)
<class 'float'> 1.0

1 2	>>> print(type(1.), 1.) <class 'float'> 1.0

‘/’による除算の結果は常にfloat型になる。

>>> print(type(6/3), 6/3)
<class 'float'> 2.0

1 2	>>> print(type(6/3), 6/3) <class 'float'> 2.0

‘//’による除算では商が整数化される(整数除算と剰余を参照)。

>>> print(type(8//3), 8//3)
<class 'int'> 2

1 2	>>> print(type(8//3), 8//3) <class 'int'> 2

Python3 – 書式設定～format

2019-07-27 / tau / コメントする

format関数

一つの数値・文字列の書式を設定する場合、format組み込み関数が使える。引数はリテラルでも変数でもよい。

print("Hexadecimal of 255 is " + format(255, '0x'))
print("1/7 is approximately " + format(1/7, 'e'))


# Hexadecimal of 255 is ff
# 1/7 is approximately 1.428571e-01

print("Hexadecimal of 255 is " + format(255, '0x'))

print("1/7 is approximately " + format(1/7, 'e'))

# Hexadecimal of 255 is ff

# 1/7 is approximately 1.428571e-01

formatメソッド

文字列に対するformatメソッドでも数値・文字列の書式を設定できる（書式設定の書き方は後述）。引数はリテラルでも変数でもよい。

print("Hexadecimal of 255 is {:0x}".format(255))
print("Hexadecimal of 255 is {:e}".format(1/7))

# Hexadecimal of 255 is ff
# Hexadecimal of 255 is 1.428571e-01

print("Hexadecimal of 255 is {:0x}".format(255))

print("Hexadecimal of 255 is {:e}".format(1/7))

# Hexadecimal of 255 is ff

# Hexadecimal of 255 is 1.428571e-01

formatメソッドは複数の数値・文字列を扱える。

print("My name is {} and my age is {}".format("Jane", 38))

# My name is Jane and my age is 38

print("My name is {} and my age is {}".format("Jane", 38))

# My name is Jane and my age is 38

位置引数として整数を指定し、繰り返して利用することが可能。

print("The suits of handed cards were {0}, {1}, {2}, {1}, {3}" \
    .format("Spade", "Club", "Diamond", "Heart".))

# The suits of handed cards were Spade, Club, Diamond, Club, Heart.

print("The suits of handed cards were {0}, {1}, {2}, {1}, {3}" \

.format("Spade", "Club", "Diamond", "Heart".))

# The suits of handed cards were Spade, Club, Diamond, Club, Heart.

キーワード引数として文字列を指定可能。

print("{name} is {age} years old.".format(name="Kark", age=25))

# Kark is 25 years old.

print("{name} is {age} years old.".format(name="Kark", age=25))

# Kark is 25 years old.

リストを引数にするときは整数の位置引数とリスト内の引数で指定する。複数のリストを指定するときは位置引数を0、1…と対応させていく。

result1 = ["Head", "Tail"]
result2 = ["Head", "Head"]
print("First result was {0[0]} and {0[1]}.\nSecond was {1[0]} and {1[1]}.".\
    format(result1, result2))

# First result was Head and Tail.
# Second was Head and Head.

result1 = ["Head", "Tail"]

result2 = ["Head", "Head"]

print("First result was {0[0]} and {0[1]}.\nSecond was {1[0]} and {1[1]}.".\

format(result1, result2))

# First result was Head and Tail.

# Second was Head and Head.

辞書を引数にするときは整数の位置引数とキーで指定する。キーはクォートで囲まない。

person1 = {'name': "John", 'age': 20}
person2 = {'name': "Kate", 'age': 32}
print("{0[name]} is {0[age]} years old) and {1[name]} is {1[age]} years old.".\
    format(person1, person2))

# John is 20 years old) and Kate is 32 years old.

person1 = {'name': "John", 'age': 20}

person2 = {'name': "Kate", 'age': 32}

print("{0[name]} is {0[age]} years old) and {1[name]} is {1[age]} years old.".\

format(person1, person2))

# John is 20 years old) and Kate is 32 years old.

書式設定する場合は、[位置引数]:[書式設定文字列]の形式にする。位置引数を指定しない場合でも':'は必要。

print("1/4 is {0:f} and 1/5 is {1:e}".format(1/4, 1/5))
print("1/4 is {:f} and 1/5 is {:e}".format(1/4, 1/5))

# 1/4 is 0.250000 and 1/5 is 2.000000e-01
# 1/4 is 0.250000 and 1/5 is 2.000000e-01

print("1/4 is {0:f} and 1/5 is {1:e}".format(1/4, 1/5))

print("1/4 is {:f} and 1/5 is {:e}".format(1/4, 1/5))

# 1/4 is 0.250000 and 1/5 is 2.000000e-01

書式設定文字列

formatメソッド

位置引数を省略して書式設定文字列を各場合{:[書式設定文字列]}のように':'を省略することができない。

文字列

{:[</^/>][width]}で左寄せ／中央ぞろえ／右寄せと、全体の幅widthを指定。

str = "Python"

print("left  :{:<10}".format(str))
print("center:{:^10}".format(str))
print("right :{:>10}".format(str))

# left  :Python
# center:  Python
# right :    Python

str = "Python"

print("left :{:<10}".format(str))

print("center:{:^10}".format(str))

print("right :{:>10}".format(str))

# left :Python

# center: Python

# right : Python

{:[char][</^/>][width]}で空白部分をcharの文字でパディング

print("left  :{:*<10}".format(str))
print("center:{:*^10}".format(str))
print("right :{:*>10}".format(str))

# left  :Python****
# center:**Python**
# right :****Python

print("left :{:*<10}".format(str))

print("center:{:*^10}".format(str))

print("right :{:*>10}".format(str))

# left :Python****

# center:**Python**

# right :****Python

整数

整数の書式は幅の値に'd'を続けて書く。

print("{:*<10d}".format(123))
print("{:*^10d}".format(123))
print("{:*>10d}".format(123))

# 123*******
# ***123****
# *******123

print("{:*<10d}".format(123))

print("{:*^10d}".format(123))

print("{:*>10d}".format(123))

# 123*******

# ***123****

# *******123

整数を2進数、8進数、16進数で表現できる。

print("{:d}".format(255))
print("{:b}".format(255))
print("{:o}".format(255))
print("{:x}".format(255))
print("{:X}".format(255))

# 255
# 11111111
# 377
# ff
# FF

print("{:d}".format(255))

print("{:b}".format(255))

print("{:o}".format(255))

print("{:x}".format(255))

print("{:X}".format(255))

# 255

# 11111111

# 377

# ff

# FF

基数を指定するとき、'#'を前置すると0b、0o、0xが前に付加される。以下の例では、同時に幅も指定している。2進数表現の場合は0bを付加すると設定幅を超えるので、そのまま表示されている。

print("{:#8b}".format(255))
print("{:#8o}".format(255))
print("{:#8x}".format(255))
print("{:#8X}".format(255))

# 0b11111111
#    0o377
#     0xff
#     0XFF

print("{:#8b}".format(255))

print("{:#8o}".format(255))

print("{:#8x}".format(255))

print("{:#8X}".format(255))

# 0b11111111

# 0o377

# 0xff

# 0XFF

浮動小数点

浮動小数点形式の実数の書式は、小数部の桁数だけ指定するときは".3f"のように、幅を設定するときは"10.3f"のように指定する。

print("{:*<10.3f}".format(12.3454))
print("{:*^10.3f}".format(12.3455))
print("{:*>10.3f}".format(12.3456))

# 12.345****
# **12.345**
# ****12.346

print("{:*<10.3f}".format(12.3454))

print("{:*^10.3f}".format(12.3455))

print("{:*>10.3f}".format(12.3456))

# 12.345****

# **12.345**

# ****12.346

固定小数点

固定小数点形式の実数の書式は、小数部の桁数だけ指定するときは".5e"のように、幅を指定するときは"15.5e"のように指定する。

# 固定小数点型
print("{:*<15.3e}".format(1.2344e-10))
print("{:*^15.3e}".format(1.2345e-10))
print("{:*>15.3e}".format(1.2346e-10))

# 1.234e-10******
# ***1.234e-10***
# ******1.235e-10

# 固定小数点型

print("{:*<15.3e}".format(1.2344e-10))

print("{:*^15.3e}".format(1.2345e-10))

print("{:*>15.3e}".format(1.2346e-10))

# 1.234e-10******

# ***1.234e-10***

# ******1.235e-10

符号の表示方法

正の数値に対して'+'を表示させるときは、数値書式の前に'+'をつけ、正の時にスペースを表示させるときには' 'をつける。

print("{:*>10d}".format(123))
print("{:*>10d}".format(-123))
print("{:*>+10d}".format(123))
print("{:*>+10d}".format(-123))
print("{:*> 10d}".format(123))
print("{:*> 10d}".format(-123))

# *******123
# ******-123
# ******+123
# ******-123
# ****** 123
# ******-123

print("{:*>10d}".format(123))

print("{:*>10d}".format(-123))

print("{:*>+10d}".format(123))

print("{:*>+10d}".format(-123))

print("{:*> 10d}".format(123))

print("{:*> 10d}".format(-123))

# *******123

# ******-123

# ******+123

# ******-123

# ****** 123

# ******-123

指定した幅の先頭に符号等を表示し、右寄せの数値との間をパディングする方法。

print("{:*=10.3f}".format(12.345))
print("{:*=10.3f}".format(-12.345))
print("{:*=+10.3f}".format(12.345))
print("{:*= 10.3f}".format(12.345))

# ****12.345
# -***12.345
# +***12.345
#  ***12.345

print("{:*=10.3f}".format(12.345))

print("{:*=10.3f}".format(-12.345))

print("{:*=+10.3f}".format(12.345))

print("{:*= 10.3f}".format(12.345))

# ****12.345

# -***12.345

# +***12.345

# ***12.345

format関数

基数表示

数値の基数を指定して、10進数、2進数、8進数、16進数を表示。16進数は英文字の大文字/小文字を選択可能。

print(format(255, 'd')) #255
print(format(255, 'b')) #11111111
print(format(255, 'o')) #377
print(format(255, 'x')) #ff
print(format(255, 'X')) #FF

print(format(255, 'd')) #255

print(format(255, 'b')) #11111111

print(format(255, 'o')) #377

print(format(255, 'x')) #ff

print(format(255, 'X')) #FF

位置揃え

文字列や数値を固定幅の中で左寄せ、センタリング、右寄せ（センタリングで左右幅が異なるときは、左に1桁寄せられる）。

print(format("Python", '<10s')) #Python
print(format("Python", '^10s')) #  Python
print(format("Python", '>10s')) #    Python

print(format(123, '<6d'))   #123
print(format(123, '^6d'))   # 123
print(format(123, '>6d'))   #   123

print(format("Python", '<10s')) #Python

print(format("Python", '^10s')) # Python

print(format("Python", '>10s')) # Python

print(format(123, '<6d')) #123

print(format(123, '^6d')) # 123

print(format(123, '>6d')) # 123

パディング

数値を固定幅で表示した場合のデフォルトは右寄せ。'[任意の文字]=’で空白をパディング。特にゼロで埋める場合は’=’を省略できる。

print(format(123, '6d'))    #   123
print(format(123, '*=6d'))  #***123
print(format(123, '0=6d'))  #000123
print(format(123, '06d'))   #000123

print(format(123, '6d')) # 123

print(format(123, '*=6d')) #***123

print(format(123, '0=6d')) #000123

print(format(123, '06d')) #000123

2、8、16の基数に対して固定幅で0でパディングする例。

print(format(15, '08b'))    #00001111
print(format(15, '04o'))    #0017
print(format(143, '04x'))   #008f
print(format(143, '04X'))   #008F

print(format(15, '08b')) #00001111

print(format(15, '04o')) #0017

print(format(143, '04x')) #008f

print(format(143, '04X')) #008F

+符号

‘+’を指定すると、正の値の時に+記号がつく。

print(format(456, '+6d'))   #  +456
print(format(-456, '+6d'))  #  -456
print(format(-456, '+06d')) #-00456
# '0+6d'はエラー

print(format(456, '+6d')) # +456

print(format(-456, '+6d')) # -456

print(format(-456, '+06d')) #-00456

# '0+6d'はエラー

カンマ区切り

3桁ごとのカンマ区切り指定。

print(format(123456789, ','))   #123,456,789
print(format(123456789, '15,')) #    123,456,789

1 2	print(format(123456789, ',')) #123,456,789 print(format(123456789, '15,')) # 123,456,789

固定小数点実数

固定小数点の小数部の桁数を’.[桁数]f’で指定する。

print(format(123.456789, '.3f'))  #123.457
print(format(123.456789, '.10f')) #123.4567890000

1 2	print(format(123.456789, '.3f')) #123.457 print(format(123.456789, '.10f')) #123.4567890000

浮動小数点実数

浮動小数点の小数部の桁数を’.[桁数]e’で指定する。

print(format(123.456, '.0e'))   #1.e+02
print(format(123.456, '.1e'))   #1.2e+02
print(format(123.456, '.2e'))   #1.23e+02
print(format(123.456, '.3e'))   #1.235e+02

print(format(123.456, '.0e')) #1.e+02

print(format(123.456, '.1e')) #1.2e+02

print(format(123.456, '.2e')) #1.23e+02

print(format(123.456, '.3e')) #1.235e+02

実数全体の桁数

小数部の桁数ではなく全体の桁数を’.[桁数]g’で指定する。全体の桁数が整数部の桁数以上のときは、固定小数点で表示される。

print(format(123.456, '.0g'))   #1e+02
print(format(123.456, '.1g'))   #1e+02
print(format(123.456, '.2g'))   #1.2e+02
print(format(123.456, '.3g'))   #123
print(format(123.456, '.4g'))   #123.5
print(format(123.456, '.5g'))   #123.46

print(format(123.456, '.0g')) #1e+02

print(format(123.456, '.1g')) #1e+02

print(format(123.456, '.2g')) #1.2e+02

print(format(123.456, '.3g')) #123

print(format(123.456, '.4g')) #123.5

print(format(123.456, '.5g')) #123.46

Python3 – 整数除算と剰余（//, %）

2019-07-22 / tau / 1件のコメント

//演算子

//演算子は、切り捨て除算と言われることが多いが、正確には小数部の切り捨てではなく、除算値を超えない最大の整数となる。これは実数の除算結果にfloorを適用した値と同じで、除算結果が負の時に注意を要する。

import math

print(8/3)
print(8//3)
print(math.floor(8/3))

# 2.6666666666666665
# 2
# 2

print(-7/3)
print(-7//3)
print(math.floor(-7/3))

# -2.3333333333333335
# -3
# -3

import math

print(8/3)

print(8//3)

print(math.floor(8/3))

# 2.6666666666666665

# 2

print(-7/3)

print(-7//3)

print(math.floor(-7/3))

# -2.3333333333333335

# -3

なお、被除数・除数の何れがマイナスかは問わず、計算結果がマイナスかどうかだけによる。

%演算子

%演算子は、引数の剰余(mod)を与える。除数の正負によって挙動が異なる点に注意。

print(13%3)     # 1
print(-13%3)    # 2
print(13%(-3))  # -2
print(-13%(-3)) # -1

print(13%3) # 1

print(-13%3) # 2

print(13%(-3)) # -2

print(-13%(-3)) # -1

除数が正のとき剰余は正となり、除数が負のときは剰余は負となる。

$\begin{array}{lcl} 13 \% 3 = 1 & \Rightarrow & 13 = 3 \times 4 + 1 \\ -13 \% 3 = 2 & \Rightarrow & -13 = 3 \times (-5) + 2 \\ 13 \% (-3) = -2 & \Rightarrow & 13 = -3 \times (-5) - 2 \\ -13 \% (-3) = -1 & \Rightarrow & -13 = -3 \times 4 -1 \end{array}$