カイ二乗分布~χ2分布

概要

独立に標準正規分布に従う確率変数X1, …, Xkがあるとき、以下の統計量は自由度kのカイ二乗分布に従う。

(1)    \begin{equation*} Z = \sum_{i=1}^k {X_i}^2 \end{equation*}

確率密度関数

x ≥ 0に対して、以下の形をとる。Γはガンマ関数。

(2)    \begin{equation*} f(x; k) = \frac{1}{2^{\frac{k}{2}} \Gamma \left(\dfrac{k}{2} \right)} x^{\frac{k}{2} - 1} e^{-\frac{x}{2}} \end{equation*}

自由度kのカイ二乗分布の平均はk、分散は2k

自由度と確率分布の関係

自由度kを変化させたときのカイ二乗分布の確率密度は以下の通り。

χ2分布表

カイ二乗分布は左右非対称なため、左側と右側それぞれの確率値に対するzの値を得る必要がある。以下の計算は、scipy.stats.chi2.ppf()の計算に準拠して、最上段の確率以下となるzの値を示している。

0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995
5 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 9.236 11.070 12.833 15.086 16.750
6 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548
7 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278
8 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955
9 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589
10 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188
11 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757
12 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300
13 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819
14 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319
15 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801
16 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267
17 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718
18 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156
19 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582
20 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997
30 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672
40 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766
50 27.991 29.707 32.357 34.764 37.689 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490
60 35.534 37.485 40.482 43.188 46.459 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952
70 43.275 45.442 48.758 51.739 55.329 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215
80 51.172 53.540 57.153 60.391 64.278 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321
90 59.196 61.754 65.647 69.126 73.291 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299
100 67.328 70.065 74.222 77.929 82.358 118.498 124.342 129.561 135.807 140.169

 

なお、これらの値はPythonのscipy.stats.chi2を用いて計算した。

 

 

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